Considere um quadrado de vértices ABCD cuja medida de seu lado é l . Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por Q1. Em seguida toma-se os pontos médios de Q1 e unindo-se esses pontos médios forma-se outro quadrado Q2. Fazendo isso indefinidamente teremos uma sequência de quadrados que representaremos por (Qn). Note que os lados desses quadrados Qn que representaremos por Ln também formam uma sequência que representaremos por (Ln), mais precisamente uma progressão geométrica de razão 22, sendo Ln a medida do lado do n-ésimo quadrado Qn. Qual é a razão entre o valor da medida da diagonal do quadrado da n-ésima etapa e o valor da soma da sequência infinita (Ln), nessa ordem? Observação: Por exemplo: após a primeira etapa temos o primeiro quadrado Q1 (cujo lado L1 mede l 22 ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado Q10,..., após a nésima etapa temos o n-ésimo quadrado Qn e assim sucessivamente. Considere um quadrado de vértices ABCD cuja medida de seu lado é l . Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por Q1. Em seguida toma-se os pontos médios de Q1 e unindo-se esses pontos médios forma-se outro quadrado Q2. Fazendo isso indefinidamente teremos uma sequência de quadrados que representaremos por (Qn). Note que os lados desses quadrados Qn que representaremos por Ln também formam uma sequência que representaremos por (Ln), mais precisamente uma progressão geométrica de razão 22, sendo Ln a medida do lado do n-ésimo quadrado Qn. Qual é a razão entre o valor da medida da diagonal do quadrado da n-ésima etapa e o valor da soma da sequência infinita (Ln), nessa ordem? Observação: Por exemplo: após a primeira etapa temos o primeiro quadrado Q1 (cujo lado L1 mede l 22 ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado Q10,..., após a nésima etapa temos o n-ésimo quadrado Qn e assim sucessivamente.

Considere um quadrado de vértices ABCD cuja medida de seu...

Q1574495

Ano: 2009

Banca: Universidade Federal do Amapá - UNIFAP

Prova: UNIFAP - PM AP - Soldado Policial Militar - 2009

Considere um quadrado de vértices $A B C D$ cuja medida de seu lado é $l$ . Agora se toma os pontos médios de cada um dos lados deste quadrado e unindo estes pontos médios formamos outro quadrado que representaremos por $Q_{1} .$ Em seguida toma-se os pontos médios de $Q_{1}$ e unindo-se esses pontos médios forma-se outro quadrado $Q_{2}$ . Fazendo isso indefinidamente teremos uma sequência de quadrados que representaremos por $(Q_{n}) .$ Note que os lados desses quadrados $Q_{n}$ que representaremos por $L_{n}$ também formam uma sequência que representaremos por $(L_{n})$ , mais precisamente uma progressão geométrica de razão $\frac{2}{2},$ sendo $L_{n}$ a medida do lado do n-ésimo quadrado $Q_{n} .$

Qual é a razão entre o valor da medida da diagonal do quadrado da n-ésima etapa e o valor da soma da sequência infinita $(L_{n}), n e s s a o r d e m ?$

Observação: Por exemplo: após a primeira etapa temos o primeiro quadrado $Q_{1}$ (cujo lado $L_{1}$ mede $l \frac{2}{2}$ ),..., após a décima etapa temos o décimo quadrado $Q_{10}, . . .,$ após a nésima etapa temos o n-ésimo quadrado $Q_{n}$ e assim sucessivamente.

$\frac{2 ( 2 - 2 )}{2 ^{n}}$

$\frac{2 ^{n} ( 2 - 2 )}{2}$

$\frac{2 ^{n} ( 2 + 2 )}{2 ^{n}}$

$\frac{2 ^{n} ( 2 - 2 2 )}{2 ^{n}}$

$\frac{2 ^{n} ( 2 - 2 )}{2 ^{n}}$

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