No âmbito do sistema de monitoramento estatístico...

No âmbito do sistema de monitoramento estatístico institucional do Ministério Público do Estado do Espírito Santo, uma equipe técnica está modelando o tempo de tramitação de determinados procedimentos administrativos em uma unidade regional.

Após levantamento histórico, verificou-se que o tempo (em dias) até a conclusão de um procedimento pode ser modelado por variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 𝑋₁, 𝑋₂, ⋯ , 𝑋_N com função de distribuição acumulada dada por:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-x/5},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$

Com base nesse modelo, considere que a área técnica do MPES deseja estimar o comportamento médio do tempo de tramitação a partir da média amostral:

$S=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_N}{N}$

Para fins de análise e planejamento institucional, determine:

a. a distribuição de 𝑿_𝟏;

b. a média e a variância de 𝑿_𝟏;

c. para 𝑵 suficientemente grande, a distribuição aproximada de 𝑺; e

d. utilizando o Teorema de Tchebichev, o menor valor de 𝑵 que garanta 𝑷(|𝑺 − 𝟓| ≤ 𝟎, 𝟓) ≥ 𝟎, 𝟖.