A regressão linear simples é uma técnica estatística...

A regressão linear simples é uma técnica estatística utilizada para modelar a relação entre uma variável resposta e uma variável explicativa, permitindo estimar tendências, interpretar associações e realizar previsões com base em dados observados. Nesse contexto, deseja-se analisar a relação entre o número de servidores públicos alocados em uma atividade administrativa e a quantidade mensal de processos concluídos.

Considere que $X$ representa o número de servidores públicos alocados na atividade e $Y$ representa a quantidade mensal de processos concluídos. Em uma amostra de 20 setores, foram obtidas as seguintes informações: $n=20$, $\sum x_i=100$, $\sum y_i=1.420$, $\sum x_i^2=580$, $\sum x_i{y}_i=7.760$ e $\sum y_i^2=106.600$. Com base nessas informações, responda aos itens a seguir demonstrando os cálculos realizados:

a) Estime a reta de regressão linear simples de $Y$ em função de $X$, na forma: $\hat{y}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }x$.

b) Interprete, no contexto do problema, o significado do coeficiente angular estimado.

c) Suponha que um setor com 8 servidores públicos alocados tenha concluído efetivamente 125 processos no mês. Calcule o resíduo associado a essa observação e interprete o resultado.

d) Calcule o coeficiente de determinação ($R^2$) e interprete seu significado.

e) Explique a diferença conceitual entre o coeficiente de determinação ($R^2$) e o coeficiente de determinação ajustado ($R_{ajustado}^2$).