Uma sequência de números reais é uma função x : N→R, que...

Uma sequência de números reais é uma função x : $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, que associa a cada número natural n um número real x_n, chamado o n -ésimo termo da sequência.

Dizemos que uma sequência (x_n)n∈$\mathbb{N}$ de números reais converge para o número real L se, dado ∈ > 0, existe n₀ tal que n > n₀ implica |x_n - L| < ∈, e escrevemos ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_n = L.

Dada uma sequência x = (x_n)n∈$\mathbb{N}$ de números reais, uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito $\mathbb{N}$' ⊂ $\mathbb{N}$.

Pode-se estabelecer, ainda, muitos resultados sobre convergência de sequências e subsequências.

Considerando as informações e a sequência apresentadas, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Mostre que ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_n=a se, e somente se, ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_2n = ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_2n-1 = a. (valor: 6,0 pontos)

b) Dê exemplo de uma sequência (x_n)n∈$\mathbb{N}$ tal que exista ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_2n, mas não exista ${}_{n\to \infty }^{\lim }$ x_n. (valor: 4,0 pontos)