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Considere as afirmações a seguir.I. Todo espaço vetorial é...
Considere as afirmações a seguir.
I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.
II. Seja 𝐹 o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja 𝐴 ⊂ 𝐹, o subespaço gerado pelas funções 𝑓, 𝑔, 𝑟, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥, 𝑟(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥), isto é, 𝐴 = ⟨𝑒𝑥, 𝑒−𝑥 , 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)⟩. Como a dimensão de 𝐴 é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre 𝐴 e ℝ3.
III. Seja 𝑇: ℝ4 → ℝ3 uma transformação linear, tal que 𝑁(𝑇) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de 𝑇 é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: 𝑢 ∼ 𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, podemos dizer que ∼R4= {0ˉ,1ˉ,2ˉ,3ˉ}.
IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço 𝑉, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.
V. Dados 𝐴, 𝐵, subespaços de um espaço vetorial 𝑉, o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐 ∈ 𝑉: 𝑐 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑐 ∈ 𝐵} não é um subespaço de 𝑉.
Analisando os itens acima, podemos afirmar que:
A
apenas um item é verdadeiro.
B
apenas dois itens são verdadeiros.
C
apenas três itens são verdadeiros.
D
apenas quatro itens são verdadeiros.
E
todos os itens são verdadeiros.