Em uma escola que implementa um programa de formação...

Em uma escola que implementa um programa de formação continuada, os professores participam mensalmente de atividades pedagógicas avaliadas pela coordenação.

Para medir o engajamento ao longo do ano, a equipe pedagógica cria um índice de participação baseado em duas sequências geométricas independentes:

1. A primeira sequência representa a evolução individual de participação do docente;
2. A segunda representa a adesão conjunta aos trabalhos coletivos.

O índice total 𝑆 é composto por:

$S=1+2$ + $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{1}{9}+\frac{2}{25}+...+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+2.{\left(\frac{1}{5}\right)}^n$

Sabendo que cada bloco corresponde à soma de uma progressão geométrica infinita, a direção da escola deseja saber qual é o valor final do índice 𝑺. Com base nesse modelo, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da soma da série apresentada.