Considerando as definições, propriedades etc. das funções...

Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos,

I. Para todo real x, $(\mathrm{sen}(x)+\cos (x){)}^2={\mathrm{sen}}^2(x)+2\mathrm{sen}(x)\cos (x)+{\cos }^2(x)e,$ então $(\mathrm{sen}(x)+\cos (x){)}^2=1+\mathrm{sen}(2x),$ já que ${\mathrm{sen}}^2(x)+{\cos }^2(x)=1e2\mathrm{sen}(x)\cos (x)=\mathrm{sen}(2x).$ Daí, (sen(x) + cos(x))² $\ge$ 1.

II. Para todo real x tal que $sen(x)\cos (x)\ne 0,$ de ${\mathrm{sen}}^2(x)+{\cos }^2(x)=1,$ segue que $\frac{1}{\cos {\sec }^2(x)}+\frac{1}{{\sec }^2(x)}=1$ que dá ${\sec }^2(x)+{\mathrm{cossec}}^2(x)={\sec }^2(x){\mathrm{cossec}}^2(x).$

III. Para todo real x tal que $\mathrm{sen}(x)\ne 0,({\mathrm{cotg}}^2(x)+1)(1-{\cos }^2(x))=\left(\frac{{\cos }^2(x)}{{\mathrm{sen}}^2(x)}+1\right)(1-{\cos }^2(x)),$ que dá $(\cot g^2(x)+1)(1-{\cos }^2(x))=\frac{{\cos }^2(x)+se{n}^2(x)}{se{n}^2(x)}(1-{\cos }^2(x)).$ Daí, $(\cot g^2(x)+1)(1-{\cos }^2(x))=\frac{1}{se{n}^2(x)}(1-{\cos }^2(x))=\frac{1}{se{n}^2(x)}-\frac{{\cos }^2(x)}{se{n}^2(x)}=\frac{1-{\cos }^2(x)}{se{n}^2(x)}=\frac{se{n}^2(x)}{se{n}^2(x)}$ e, portanto, $({\mathrm{cotg}}^2(x)+1)(1-{\cos }^2(x))=1.$

verifica-se que é/são argumento/s matemático/s correto/s