Considere a função 𝒇: ℝ𝟐 → ℝ𝟐 definida por:𝒇(𝒙, 𝒚) =...

A função admite uma inversa local 𝑔 = 𝑓⁻¹ em uma vizinhança de 𝑄, e a matriz Jacobiana de 𝑔 no ponto 𝑄 é dada por $J_g(0,2)=\left(\begin{array}{cc}1/4& 1/4\\ -1/4& 1/4\end{array}\right).$

A função não é inversível em nenhuma vizinhança de 𝑃, porque o determinante do Jacobiano em 𝑃 é zero.

A função admite uma inversa local 𝑔 = 𝑓⁻¹ em uma vizinhança de 𝑄, e a matriz Jacobiana de 𝑔 no ponto 𝑄 é dada por $J_g(0,2)=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/4\\ 0& 1/2\end{array}\right).$

Como 𝑓(1,1) = 𝑓(−1,−1) = (0,2), o Teorema da Função Inversa garante que 𝑓 não possui inversa em nenhuma vizinhança de 𝑃.

A matriz Jacobiana de 𝑓 no ponto 𝑃 é singular, o que impossibilita o cálculo da derivada da inversa.