A matriz Φ−1 tem 2 autovalores distintos.

Uma codificação de mensagens pode ser efetuada por uma expressão da forma $\Psi$ = $\Phi \Omega$ , em que $\Omega$ é uma matriz 3 × $n$, com entradas inteiras e representa a mensagem a ser enviada, pré-codificada, $\Phi$ é a matriz codificadora, 3 × 3, inversível, e $\Psi$ é a mensagem que chega ao destino, codificada. Conhecendo-se a matriz codificadora $\Phi$ , é possível decodificar a mensagem — ou seja, recuperar a mensagem original — pela expressão $\Omega ={\Phi }^{-1}\Psi$ . Considere uma codificação de mensagem em que a cada letra do alfabeto é associado um número inteiro, da seguinte forma:

A $\to$ 1, B $\to$ 2, C $\to$ 3, ..., Z $\to$ 26, * $\to$ 27,

em que * serve para separar palavras e(ou) completar a matriz de mensagem, codificada. A pré-codificação é feita da seguinte forma:

Passo 1: completa-se a mensagem a ser codificada com espaços em branco, acrescentados ao final da mensagem original, até que o número total de caracteres a serem codificados — incluindo-se espaços em branco — seja um número da forma 3$n$;

Passo 2: associa-se à mensagem completada de acordo com o passo 1 uma matriz 3 × $n$, como no exemplo seguinte:

DISTRITO FEDERAL$\to$ $\Omega =\left|\begin{array}{cccccc}4& 9& 19& 20& 18& 9\\ 20& 15& 27& 6& 5& 4\\ 5& 18& 1& 12& 27& 27\end{array}\right|$ .

Considere que a matriz codificadora seja $\Phi =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$ e que ao destino seja enviada a matriz $\Psi$, que é a mensagem codificada. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.