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Sejam X c ℝ um conjunto de números reais, f :X -> ℝ uma...
Sejam X c ℝ um conjunto de números reais, f :X -> ℝ uma função real cujo domínio é X e a E X ' um ponto de acumulação do conjunto X. Negar que o número real L é limite de f ( x ) quando x tende para a, equivale a dizer que:
I - ∀∈ > 0 ∃δ > 0; x ∈ X, 0 < \x - a| < δ =→ |f(x) - L\ < ∈.
II - Existe um número e > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar xδ ∈ x tal que 0 < |xδ -a| < δ e |f(xδ) -L\ ≥ ∈.
III - ∀∈ ≥ 0 ∃δ ≥ 0; x ∈ X, 0 ≤ |x - a| ≤ δ => |f(x) -L ≤ ∈.
IV- Existe um número e ≥ 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ ≥ 0, pode-se sempre achar xδ E X tal que 0 ≤ |xδ -a| ≤ δ e |f(xδ) -L| ≤ ∈.
Pode-se concluir que:
A
I, II e III são falsas.
B
II, III e IV são verdadeiras.
C
I, III e IV são falsas.
D
Apenas as afirmações II e III são equivalentes e verdadeiras.
E
Apenas as afirmações I e IV são equivalentes e verdadeiras.