Questões de Concurso sobre Cadeias de Markov

De acordo com Fogliatti (2007) consiste na modelagem analítica de processos ou sistemas que resultam em espera e tem como objetivo determinar e avaliar quantidades, denominadas medidas de desempenho, que expressam a produtividade/operacionalidade desses produtos, e de posse destas informações buscar meios para minimizar os impactos negativos das esperas nos processos. Esse conceito é referente à:

Diversos métodos computacionais podem ser utilizados para a detecção e tratamento de outliers em sequências do tipo discretas, como por exemplo, as sequências de dados biológicos ou as de ações de usuários armazenadas em arquivos de logs.

Sobre os modelos markovianos, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a afirmativa verdadeira e (F) para a falsa.

( ) Os modelos markovianos representam o processo de geração de sequências com o uso de transições em uma cadeia de markov. Trata-se essencialmente um tipo especial de autômato de estado infinito, onde os estados são definidos por um longo histórico das sequências.

( ) Nos modelos de markov de primeira ordem, cada estado representa o símbolo do alfabeto Σ, que é gerado como o elemento final da sequência que está sendo modelada. Assim, a palavra “primeira ordem” refere-se ao fato de que o primeiro elemento da cadeia é diferente de 1. Nos modelos de Markov de k-ésima ordem, cada estado corresponde à subsequência dos k-1 símbolos finais a_n−1... a_n−k na sequência que está sendo modelada.

( ) Cada transição deste modelo corresponde a um evento a_n-k, representando a adição do elemento a_n-1 ao término da sequência. Como resultado da adição deste elemento, as transições do modelo markoviano variam do estado a_n−1... a_n−k para o estado a_n−1 ... a_n-k+1. A probabilidade desta transição é P(a_n|a_n−k ... a_n−1).

As afirmativas são, respectivamente,

Considere uma cadeia de Markov com estados E = {0,1, 2,3,4} e a seguinte matriz de transição:

Nessa situação, os estados

De acordo com a definição de Matriz de Markov, também conhecida como matriz estocástica ou de transição, observe as matrizes abaixo e assinale a alternativa carreta:

I. $\left[\begin{array}{cc}1/4& 2/3\\ 3/4& 1/3\end{array}\right]$ II. $\left[\begin{array}{ccc}0& 1/2& 1/4\\ 1/2& 1/2& 1/2\\ 1/2& 0& 1/2\end{array}\right]$ III. $\left[\begin{array}{ccc}1/2& 1/4& 1\\ 1/2& 1/2& 0\\ 1/2& 0& 0\end{array}\right]$ IV. $\left[\begin{array}{cc}1/4& -2/3\\ 3/4& -1/3\end{array}\right]$

Em uma determinada data, foi encontrada a matriz de transição M (vide abaixo), após uma série de experiências, correspondendo às preferências do consumidor com relação ao consumo dos produtos P₁ e P₂

------$P_1$ -- $P_2$

$\begin{array}{c}{P}_1\\ P_2\end{array}\left[\begin{array}{cc}0,90& 0,10\\ 0,70& 0,30\end{array}\right]$

Considerando a matriz M e que a distribuição de probabilidades para a n-ésima experiência, com n tendendo ao infinito, seja a distribuição estacionária de Markov, obtém-se o correspondente vetor único de probabilidade fixo t de M igual a (m,n). O valor de m é igual a

Cadeias de Markov implementam modelos estocásticos em estados discretos e tempo discreto. O estado seguinte no tempo n+1, x(n+1), é obtido do estado imediatamente anterior, x(n), e a evolução é governada pela matriz de transição P.

x (n +1) = x (n) P

Uma cadeia de Markov construída a partir de uma análise estocástica do mercado financeiro é obtida, a partir da análise das tendências das séries temporais para um determinado benchmark de um país, ou um conjunto qualquer de ativos de renda variável. Considere o diagrama abaixo em termos dos estados “Mercado em alta”, “Mercado em baixa” e “Mercado Estagnado.

_{Fonte: Adaptada de: https://pt.wikipedia.org/wiki/Cadeias_de_Markov#/media/Fi cheiro:Finance_Markov_chain_example_state_space_- _PT.svg. Em https://pt.wikipedia.org/wiki/Cadeias_de_Markov}

Assuma como estados (matrizes linha, aplicados, portanto à esquerda da matriz de transição) [1 0 0] = “Mercado em Alta”; [0 1 0] = “Mercado Estagnado”, e [0 0 1] = “Mercado em Baixa”.

Considere as afirmativas abaixo:

( ) A matriz de transição compatível com este modelo é dada por:

P = $\left(\begin{array}{ccc}0,9& 0,025& 0,075\\ 0,25& 0,5& 0,25\\ 0,15& 0,05& 0,8\end{array}\right)$

( ) A evolução para o estado estacionário é obtida pela análise da matriz resultante do cálculo de

lim Pⁿ_{n → ∞}

Assinale a alternativa que classifica as afirmações acima em Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Uma mensagem é transmitida apenas com os dígitos 0 e 1. A probabilidade de o dígito ser transmitido corretamente é 0,8. A alternativa que representa a matriz de transição da cadeia de Markov correspondente a esse processo é:

Uma cadeia de Markov (X_n)_n≤0 com estados S = {0, 1, 2} tem a seguinte matriz de transição:

$P=\left(\begin{array}{ccc}0.1& 0.1& 0.8\\ 0.2& 0.2& 0.6\\ 0.3& 0.3& 0.4\end{array}\right)$

Calcule a P(X₃ = 1|X₁ = 0) e assinale a alternativa correta.

Seja {X_n, n = 0, 1, 2,...} uma cadeia de Markov com espaço de estados S={0,1} e matriz de probabilidade de transição: 

Uma análise de mercado com relação às preferências do consumidor referente ao consumo dos sabonetes marcas M e N é realizada por uma empresa mensalmente por meio de experimentos. O diretor comercial da empresa observou que em um experimento 85% dos que consumiram M em um experimento anterior continuaram a consumir M no novo experimento e 60% dos que consumiram N no experimento anterior passaram a consumir M no novo experimento. Considere a matriz de transição abaixo e que este processo esteja sendo realizado ao longo do tempo.

O único vetor de probabilidade fixo t desta matriz é

Calcule a distribuição de probabilidade de X₁ na cadeia de Markov com espaço de estados E = {0; 1; 2; 3}, distribuição inicial u₀ = {(0,2 0,4 0,3 0,1)} e matriz de probabilidade de transição definida por

P = $\left(\begin{array}{cccc}0,4& 0,1& 0,3& 0,2\\ 0,1& 0,3& 0,4& 0,2\\ 0,2& 0,1& 0,3& 0,4\\ 0,3& 0,1& 0,3& 0,3\end{array}\right)$

Em uma determinada data, o gerente comercial de uma fábrica de um produto marca X, concorrente somente com o produto de outro fabricante marca Y, insatisfeito com a participação de seu produto no mercado, decide fazer uma promoção de seu produto. Verifica então que com a promoção, mensalmente, 90% dos clientes que consumiam X continuaram a consumir X e 70% dos que consumiam Y passaram a consumir X. Seja a matriz de transição T abaixo:

Se o gerente ao longo do tempo não interrompe a promoção, então a matriz estacionária S correspondente à matriz de transição T é igual a

Um vendedor de uma determinada empresa pode visitar duas cidades A e B para vender o seu produto. Para ir a essas cidades, ele segue algumas regras: caso ele esteja na cidade A, ele escolhe ir, no dia seguinte, para a cidade B com probabilidade 0,7; se ele estiver na cidade B, ele vai para cidade A com probabilidade 0,6.

A matriz de transição da cadeia de Markov é dada por:

$P=\left[\begin{array}{cc}0,3& 0,7\\ 0,6& 0,4\end{array}\right]$

Sabendo-se que a probabilidade de ele estar hoje nas cidades A e B são iguais, então a probabilidade de ele estar na cidade B amanhã é

A cadeia de Markov em questão é periódica.

Considere as seguintes afirmações relativas a modelos markovianos de filas:

I. No modelo M/M/1 com taxa de chegada de 1 cliente a cada 20 minutos e taxa de atendimento de 4 clientes a cada hora, o número médio de pacientes na fila é igual a 2,25.

II. No modelo M/M/2 com fator de utilização igual a 40% e taxa de chegada de 2 clientes em 30 minutos, a taxa de atendimento é de 4,5 clientes por hora.

III. No modelo M/M/1/K a taxa de chegada pode ser maior do que a taxa de atendimento.

IV. No modelo M/M/1 o número médio de usuários na fila é igual ao valor do produto entre a taxa de chegada e tempo médio que cada usuário permanece na fila.

Está correto o que se afirma APENAS em

Se o modelo descrito valer por tempo indeterminado, então as proporções das classes A, M e B tenderão para as probabilidades estacionárias 2/7, 2/7 e 3/7, respectivamente.

De acordo com o modelo apresentado, os netos de uma família da classe B têm 70% de probabilidade de pertencer a essa mesma classe e 3% de probabilidade de pertencer à classe A.