Questão Q3373212 - Estatística

Question

Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema 𝐻𝑥 = 𝑦, minimizando-se o funcionalJ=‖Hx−y‖ 22​ ,em que ‖∙‖2 é a norma 𝐿2 (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por𝐽𝛼 = ‖𝐻𝑥 − 𝑦‖22​ + ‖Γ𝑥‖22​ ,em que Γ = 𝛼𝐼, e 𝐼 é a matriz identidade.Considere um caso hipotético onde as variáveis 𝐻, 𝑦 e 𝛼 possuem os seguintes valores:H= ⎣⎢⎢⎢⎡​1111​2222​⎦⎥⎥⎥⎤​ , y= ⎣⎢⎢⎢⎡​−1012​⎦⎥⎥⎥⎤​ , α =1 .caso, o vetor 𝑥 que minimiza 𝐽𝛼 é: Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema 𝐻𝑥 = 𝑦, minimizando-se o funcionalJ=‖Hx−y‖ 22​ ,em que ‖∙‖2 é a norma 𝐿2 (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por𝐽𝛼 = ‖𝐻𝑥 − 𝑦‖22​  + ‖Γ𝑥‖22​  ,em que Γ = 𝛼𝐼, e 𝐼 é a matriz identidade.Considere um caso hipotético onde as variáveis 𝐻, 𝑦 e 𝛼 possuem os seguintes valores:H= ⎣⎢⎢⎢⎡​1111​2222​⎦⎥⎥⎥⎤​ , y= ⎣⎢⎢⎢⎡​−1012​⎦⎥⎥⎥⎤​ , α =1 .caso, o vetor 𝑥 que minimiza 𝐽𝛼 é:

Gran Questões · Accepted Answer

⎣⎢⎢⎢⎡​221421​⎦⎥⎥⎥⎤​

Gran Questões · Answer

⎣⎢⎢⎢⎡​121221​⎦⎥⎥⎥⎤​

Gran Questões · Answer

⎣⎢⎢⎢⎡​1727​⎦⎥⎥⎥⎤​

Gran Questões · Answer

⎣⎢⎢⎢⎡​414814​⎦⎥⎥⎥⎤​

Gran Questões · Answer

⎣⎢⎢⎢⎡​421821​⎦⎥⎥⎥⎤​

Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-posto...