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Questões de Concurso sobre Teorema de Bayes
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Considere um experimento aleatório qualquer e dois resultados possíveis, denominados Evento A e Evento B, onde P(A) é a probabilidade de o evento A ocorrer e P(B) é a probabilidade de o evento B ocorrer.
É correto afirmar que
A
P(A|B)=P(A∪B)/P(B)=P(A).P(B|A)/P(B)
B
P(A|B)=P(A∩B)/P(A)=P(A).P(B|A)/P(A)
C
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(B).P(B|A)/P(B)
D
P(A|B)=P(A∪B)/P(B)=P(B).P(B|A)/P(B)
E
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(A).P(B|A)/P(B)
Um modelo financeiro indica as seguintes probabilidades a priori para a próxima decisão do Comitê de Política Monetária (COPOM) quanto à taxa de juros: redução (15%), manutenção (60%) e aumento (25%).
Às 9 horas de certo dia, o IBGE divulgou uma inflação muito acima do esperado (evento E), sendo as seguintes as verossimilhanças de essa inflação ocorrer em cada cenário: P(E | redução) = 5%; P(E | manutenção) = 30%; e P(E | aumento) = 80%.
Nessa situação hipotética, aplicando-se o teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori de o COPOM decidir por um aumento da taxa de juros, dado que o evento E ocorreu no referido dia, é
A
igual ou superior a 20% e inferior a 45%.
B
igual ou superior a 45% e inferior a 60%.
C
igual ou superior a 60%.
D
inferior a 20%.
E
igual ou superior a 20% e inferior a 25%.
Na inferência bayesiana, a atualização das probabilidades ocorre à medida que novas evidências são incorporadas ao processo de análise estatística. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.
A
A distribuição a posteriori substitui a verossimilhança observada no cálculo, eliminando a influência da distribuição a priori.
B
A distribuição a posteriori combina a distribuição a priori com a verossimilhança dos dados, atualizando as crenças sobre os parâmetros.
C
A distribuição a priori corresponde à probabilidade condicional dos eventos observados, representando a evidência produzida pela amostra.
D
A verossimilhança representa uma distribuição de probabilidades sobre os parâmetros, resumindo a incerteza existente antes da observação.
E
A evidência constitui um parâmetro estimável do modelo matemático construído, determinando os valores da distribuição a priori.
P(Ax | Bx) = 0,75x
C
Certo
E
Errado
Leia o texto a seguir.
Uma empresa recebe mercadorias de 2 fornecedores (A e B). A empresa recebe 30% das mercadorias do fornecedor A e 70% do fornecedor B. Além disso, as chances que uma mercadoria do fornecedor A esteja com defeito é de 10% e do fornecedor B é de 5%.
Se uma mercadoria escolhida ao acaso está com defeito, o valor que mais se aproxima da probabilidade de que ela tenha vindo do fornecedor A é
A
0,4615.
B
0,4737.
C
0,4942.
D
0,5047.
Considere o caso de um analista de segurança responsável por avaliar o risco de invasão em uma instalação industrial. Antes de qualquer alerta, o analista estima a probabilidade de invasão em 10%. Após receber uma notificação do sistema de vigilância, indicando movimento suspeito em uma área restrita, ele consulta o histórico:
• Quando houve invasão de fato, em 90% dos casos o sistema havia emitido esse tipo de notificação.
• Quando não houve invasão, em 5% dos casos o sistema também gerou falsos alertas semelhantes.
Com base no Teorema de Bayes, a probabilidade atualizada de que realmente esteja ocorrendo uma invasão, dado que o sistema emitiu o alerta é, aproximadamente
A
20%.
B
56%.
C
67%.
D
80%.
E
86%.
Uma companhia de saneamento possui um sistema de monitoramento de qualidade da água. Durante uma inspeção, foi observado que a probabilidade de uma estação apresentar altos níveis de sólidos dissolvidos totais (A) é P(A) = 0,3, e que a probabilidade de essa mesma estação apresentar alto teor de nitratos (B) é P(B) = 0,4. Caso essa estação apresente altos níveis de sólidos dissolvidos totais, a probabilidade de ela apresentar altos níveis de nitratos aumentará para 0,5, ou seja, P(B|A) = 0,5.
Com base nessas informações, é correto concluir que a probabilidade condicional P(A|B) é igual a
A
0,375.
B
0,300.
C
0,500.
D
0,667.
E
0,750.
Todos os processos de uma certa repartição pública são recebidos em um sistema S. Tal sistema distribui os processos entre dois setores – A e B, com probabilidade 0,60 e 0,40, respectivamente. Um processo distribuído para o setor A pode ser finalizado com probabilidade 0,40, ser encaminhado ao setor B com probabilidade 0,20, ou ser encaminhado a um setor C com probabilidade 0,40. Um processo distribuído para o setor B pode ser finalizado com probabilidade 0,30, ou pode ser encaminhado ao setor C com probabilidade 0,70. Todo processo que chegar ao setor C será analisado e finalizado nesse setor. O gráfico a seguir exemplifica o esquema de distribuição dos processos entre os setores da repartição:
Com base nas informações fornecidas, qual é a probabilidade de que um processo tenha passado pelo setor A dado que ele passou pelo setor B?
A
0,12.
B
0,20.
C
0,23.
D
0,30.
E
0,52.
Uma grande e inovadora indústria de calçados lança novas linhas de produtos a cada ano, sendo que 60% das linhas lançadas apresentam taxa de retorno acima do esperado. Antes do lançamento de cada linha, a indústria realiza cuidadosos estudos de mercado para analisar sua viabilidade. Nos últimos 3 anos, 80% das linhas lançadas e bem-sucedidas receberam relatórios de análise de viabilidade favoráveis. Já 30% dos programas malsucedidos também receberam relatórios de análise de viabilidade favoráveis. Qual é a probabilidade de que uma nova linha seja bem-sucedida, considerando que ela recebeu uma análise de viabilidade favorável?
A
48%.
B
54%.
C
56%.
D
60%.
E
80%.
Uma empresa de laticínios implementará três estratégias para desenvolver um novo tipo de iogurte. Devido aos custos, essas estratégias serão implementadas em momentos distintos. Mais especificamente, as estratégias 𝐸1, 𝐸2 𝑒 𝐸3 serão aplicadas de acordo com a produção de uma demanda, sendo aplicadas, respectivamente, em 30%, 20% e 50% dos produtos. O índice de “fracassos” dessas estratégias é dado a seguir:
𝑃(𝐷 ∣ 𝐸1 ) = 0,01, 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸2 )
= 0,03 𝑒 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸3 ) = 0,02,
Sabendo-se que 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸𝑖) é a probabilidade de uma estratégia fracassar, dada a estratégia 𝑗,𝑗 = 1,2,3 , isso garante que, ao se escolher aleatoriamente uma estratégia e avaliar que ela fracassou, a probabilidade de se ter escolhido a estratégia 𝐸2 é:
A
31,6%.
B
29,7%.
C
28,1%.
D
27,5%.
Para o teorema de Bayes ser aplicado para o cálculo de probabilidades, é necessário que o denominador seja uma partição. Dessa forma, o teorema de Bayes não se aplica para variáveis contínuas.
C
Certo
E
Errado
P(Q=1)=5⋅P(q=0).
C
Certo
E
Errado
P (A ∪ B) = 0,2.
C
Certo
E
Errado
O teorema de Bayes é um mecanismo formal para atualizar probabilidades. Considere o caso de um analista de mercado que, após o encerramento de um pregão, pretende divulgar informações sobre a probabilidade de queda de determinada ação. O analista tinha uma previsão inicial de queda dessa ação de 10% e recebeu novas informações sobre a economia, no que diz respeito a um aumento da taxa de juros. O analista tem registros de que, quando houve queda nessa ação, em 20% das vezes essa queda foi precedida pelo aumento dos juros e de que, nos dias em que a ação esteve em alta, apenas em 5% das vezes elas foram precedidas pela notícia de aumento da taxa de juros.
Levando-se em conta esse cenário, e com base no teorema de Bayes, a nova probabilidade de queda da ação será de
A
45%
B
40%
C
33%
D
31%
E
29%
Os Filtros Bayesianos são assim chamados por basearem-se na aplicação do Teorema de Bayes, que relaciona distribuições de probabilidade a priori com distribuições de probabilidade a posteriori.
Há dois passos fundamentais para a estimação de estados, onde o primeiro passo está associado ao modelo dinâmico do sistema ou processo, enquanto o segundo passo está associado ao modelo de observações ou sensoriamento.
Neste contexto, os passos são denominados, respectivamente,
A
Treinamento e Classificação.
B
Predição e Correção.
C
Atenuação e Geração.
D
Propagação Inversa e Propagação Direta.
E
Marginalização e Condicionamento.
Um instituto deseja estudar a incidência de certo evento em determinados intervalos de tempo. Seja X1,X2,...,Xn uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída conforme uma distribuição de Poisson com parâmetro λ.
Sabe-se que λ tem distribuição Gama com parâmetros α e β e que Yy = ΣiXi.
Então, a distribuição a posteriori de λ é
A
Poisson com parâmetro λ.
B
Poisson com parâmetro nλ.
C
Gama com parâmetros (y+a;nβ+1β).
D
Gama com parâmetros (y−αnβ−1(β)).
E
Gama com parâmetros (α+ββ(nβ+1)⋅λ).
Assinale a alternativa que apresenta a diferença da estatística Bayesiana para a Estatística Clássica:
A
É o fato de a bayesiana não ser baseada em frequência de dados, ou seja, não precisa que um determinado evento tenha ocorrido várias vezes para que possa determinar a probabilidade deste evento voltar a ocorrer.
B
Comparada com a estatística clássica ou frequentista, a estatística bayesiana é significativamente mais complexa.
C
É porque a Teoria Bayesiana é baseada em vários Teoremas.
D
Não é possível utilizar a estatística bayesiana para análise de casos raros, como acontece na medicina.
E
Nenhuma das alternativas.
Uma pesquisa sobre a dispersão espacial do risco de ocorrência de um determinado fenômeno utilizou a estimação Bayesiana como método de estimação.
Sobre esse método de estimação, assinale a opção correta.
A
Considera inicialmente que o parâmetro a estimar é desconhecido.
B
Considera inicialmente que o parâmetro a estimar é conhecido levando em conta os dados coletados da amostra.
C
Considera inicialmente que o parâmetro é uma quantidade cuja variação pode ser descrita por uma distribuição de probabilidade somente depois da retirada da amostra.
D
Considera inicialmente que o parâmetro é uma quantidade cuja variação pode ser descrita por uma distribuição de probabilidade antes da retirada da amostra.
E
Considera inicialmente uma amostra aleatória que é retirada e uma população indexada pelo parâmetro a estimar, baseado nos valores observados da amostra.
E1⊂ E2.
C
Certo
E
Errado
Gerar simulado