Questões de Concurso sobre Teorema de Bayes

Considere um experimento aleatório qualquer e dois resultados possíveis, denominados Evento A e Evento B, onde P(A) é a probabilidade de o evento A ocorrer e P(B) é a probabilidade de o evento B ocorrer.

É correto afirmar que

Um modelo financeiro indica as seguintes probabilidades a priori para a próxima decisão do Comitê de Política Monetária (COPOM) quanto à taxa de juros: redução (15%), manutenção (60%) e aumento (25%).

Às 9 horas de certo dia, o IBGE divulgou uma inflação muito acima do esperado (evento E), sendo as seguintes as verossimilhanças de essa inflação ocorrer em cada cenário: P(E | redução) = 5%; P(E | manutenção) = 30%; e P(E | aumento) = 80%.

Nessa situação hipotética, aplicando-se o teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori de o COPOM decidir por um aumento da taxa de juros, dado que o evento E ocorreu no referido dia, é

P(A_x | B_x) = 0,75^x

Leia o texto a seguir.

Uma empresa recebe mercadorias de 2 fornecedores (A e B). A empresa recebe 30% das mercadorias do fornecedor A e 70% do fornecedor B. Além disso, as chances que uma mercadoria do fornecedor A esteja com defeito é de 10% e do fornecedor B é de 5%.

Se uma mercadoria escolhida ao acaso está com defeito, o valor que mais se aproxima da probabilidade de que ela tenha vindo do fornecedor A é

Uma companhia de saneamento possui um sistema de monitoramento de qualidade da água. Durante uma inspeção, foi observado que a probabilidade de uma estação apresentar altos níveis de sólidos dissolvidos totais (A) é P(A) = 0,3, e que a probabilidade de essa mesma estação apresentar alto teor de nitratos (B) é P(B) = 0,4. Caso essa estação apresente altos níveis de sólidos dissolvidos totais, a probabilidade de ela apresentar altos níveis de nitratos aumentará para 0,5, ou seja, P(B|A) = 0,5.

Com base nessas informações, é correto concluir que a probabilidade condicional P(A|B) é igual a

Considere o caso de um analista de segurança responsável por avaliar o risco de invasão em uma instalação industrial. Antes de qualquer alerta, o analista estima a probabilidade de invasão em 10%. Após receber uma notificação do sistema de vigilância, indicando movimento suspeito em uma área restrita, ele consulta o histórico:

• Quando houve invasão de fato, em 90% dos casos o sistema havia emitido esse tipo de notificação.

• Quando não houve invasão, em 5% dos casos o sistema também gerou falsos alertas semelhantes.

Com base no Teorema de Bayes, a probabilidade atualizada de que realmente esteja ocorrendo uma invasão, dado que o sistema emitiu o alerta é, aproximadamente

Todos os processos de uma certa repartição pública são recebidos em um sistema S. Tal sistema distribui os processos entre dois setores – A e B, com probabilidade 0,60 e 0,40, respectivamente. Um processo distribuído para o setor A pode ser finalizado com probabilidade 0,40, ser encaminhado ao setor B com probabilidade 0,20, ou ser encaminhado a um setor C com probabilidade 0,40. Um processo distribuído para o setor B pode ser finalizado com probabilidade 0,30, ou pode ser encaminhado ao setor C com probabilidade 0,70. Todo processo que chegar ao setor C será analisado e finalizado nesse setor. O gráfico a seguir exemplifica o esquema de distribuição dos processos entre os setores da repartição:

Com base nas informações fornecidas, qual é a probabilidade de que um processo tenha passado pelo setor A dado que ele passou pelo setor B?

Uma empresa de laticínios implementará três estratégias para desenvolver um novo tipo de iogurte. Devido aos custos, essas estratégias serão implementadas em momentos distintos. Mais especificamente, as estratégias 𝐸₁, 𝐸₂ 𝑒 𝐸₃ serão aplicadas de acordo com a produção de uma demanda, sendo aplicadas, respectivamente, em 30%, 20% e 50% dos produtos. O índice de “fracassos” dessas estratégias é dado a seguir:

𝑃(𝐷 ∣ 𝐸₁ ) = 0,01, 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸₂ )

= 0,03 𝑒 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸₃ ) = 0,02,

Sabendo-se que 𝑃(𝐷 ∣ 𝐸_𝑖) é a probabilidade de uma estratégia fracassar, dada a estratégia 𝑗,𝑗 = 1,2,3 , isso garante que, ao se escolher aleatoriamente uma estratégia e avaliar que ela fracassou, a probabilidade de se ter escolhido a estratégia 𝐸₂ é:

Uma grande e inovadora indústria de calçados lança novas linhas de produtos a cada ano, sendo que 60% das linhas lançadas apresentam taxa de retorno acima do esperado. Antes do lançamento de cada linha, a indústria realiza cuidadosos estudos de mercado para analisar sua viabilidade. Nos últimos 3 anos, 80% das linhas lançadas e bem-sucedidas receberam relatórios de análise de viabilidade favoráveis. Já 30% dos programas malsucedidos também receberam relatórios de análise de viabilidade favoráveis. Qual é a probabilidade de que uma nova linha seja bem-sucedida, considerando que ela recebeu uma análise de viabilidade favorável?

Para o teorema de Bayes ser aplicado para o cálculo de probabilidades, é necessário que o denominador seja uma partição. Dessa forma, o teorema de Bayes não se aplica para variáveis contínuas.

$P(Q=1)=5\cdot P(q=0).$

P (A ∪ B) = 0,2.

O teorema de Bayes é um mecanismo formal para atualizar probabilidades. Considere o caso de um analista de mercado que, após o encerramento de um pregão, pretende divulgar informações sobre a probabilidade de queda de determinada ação. O analista tinha uma previsão inicial de queda dessa ação de 10% e recebeu novas informações sobre a economia, no que diz respeito a um aumento da taxa de juros. O analista tem registros de que, quando houve queda nessa ação, em 20% das vezes essa queda foi precedida pelo aumento dos juros e de que, nos dias em que a ação esteve em alta, apenas em 5% das vezes elas foram precedidas pela notícia de aumento da taxa de juros.

Levando-se em conta esse cenário, e com base no teorema de Bayes, a nova probabilidade de queda da ação será de

Os Filtros Bayesianos são assim chamados por basearem-se na aplicação do Teorema de Bayes, que relaciona distribuições de probabilidade a priori com distribuições de probabilidade a posteriori.

Há dois passos fundamentais para a estimação de estados, onde o primeiro passo está associado ao modelo dinâmico do sistema ou processo, enquanto o segundo passo está associado ao modelo de observações ou sensoriamento.

Neste contexto, os passos são denominados, respectivamente,

Um instituto deseja estudar a incidência de certo evento em determinados intervalos de tempo. Seja X₁,X₂,...,X_n uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída conforme uma distribuição de Poisson com parâmetro λ.

Sabe-se que λ tem distribuição Gama com parâmetros α e β e que $Y$$y$ = ${\Sigma }_i$$X_i$.

Então, a distribuição a posteriori de λ é

Assinale a alternativa que apresenta a diferença da estatística Bayesiana para a Estatística Clássica:

Uma pesquisa sobre a dispersão espacial do risco de ocorrência de um determinado fenômeno utilizou a estimação Bayesiana como método de estimação.

Sobre esse método de estimação, assinale a opção correta.

$E_1\subset E_2.$

Se P(E₁) = P(E₃) = 0,1, então P(E₁ ∩ E₃) = 0,01.