Questões de Concurso sobre Espaços Vetoriais

A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. O cálculo dessa medida pode ser realizado utilizando, basicamente, conceitos da Geometria Analítica. Considere, para tal, os dois pontos a seguir:

P(5,8,-2) e Q(0,4,-1)

A distância entre os dois pontos e no espaço, considerando u.m. como “unidade de medida”, é de, aproximadamente:

Os vetores (1, 2, 5), (3, 2, 1) e (9, 2, -11) no espaço vetorial R³ geram um subespaço vetorial ao qual pertence o vetor

Pode-se escrever o vetor u = (9, - 17) como uma combinação linear de v = (1, 2) e w = (3, -1) , ou seja, existem a e b, tais que u = av + bw.

A soma a + b vale

Se V₁ e V₂ são subespaços vetoriais de R³, com $V_1=$ {( $x$,$y$,$z$): $2x-3y+z=0$ } e $V_2=$ {$(x,y,z):x+4y+3z=0$} pode-se afirmar que se o vetor (a,b,c) $\in V_1\cap V_2,$ então

Dados os vetores f = (1, 0, 2) e g = (-1, 2, 1), calcule o produto vetorial entre eles e assinale a alternativa CORRETA.

No espaço vetorial ${\mathbb{R}}^2$, B₁ = n{(1,1),(2,1)} e B₂ = {u,v} são bases tais que a matriz ${\left[M\right]}_{B_1}^{B_2}=$ $\left[\begin{array}{cc}2& 7\\ -1& -4\end{array}\right]$ é a matriz de mudança da base B₁ para B₂.

O produto interno < u,v> é igual a

Pode-se afirmar, sobre os vetores v₁=(1, 2, 3, -1), v₂=(-1, 2, -3, -1), v₃=(3, 2, 1, 0) e v₄=(16, 8, 24, -1) do R⁴, que

Considere o seguinte campo:

$F(x,y,z)=\left[2xz{e}^{\left(x^2+y^2\right)},2yz{e}^{\left(x^2+y^2\right)},\left(az+b\right)e^{\left(x^2+y^2\right)}\right].$

Se o campo acima é conservativo, então:

Denote o produto vetorial dos vetores v e w do espaço tridimensional por v X w e considere $T:{\mathbb{R}}^3$ $\to$ ${\mathbb{R}}^3$,T(u) = u x (0,0,1). Qual a imagem do quadrado Q = {(x,y, 0) $\in$ ${\mathbb{R}}^3$ :0 < x < 1, 0 < y < 1} por T?

Sejam T: V → V um operador linear e V o espaço vetorial R². Se v∈V, v≠0, é um autovetor do operador linear T com autovalor igual a -2, então os vetores v e T(v) têm a mesma direção e:

A Imagem de ƒ: ℝ → ℝ. dada por ƒ(x) = 2cos²(x) + sen (2x) − 1, é [a,b] . Seja π o plano que passa pelo ponto A(9,-1,0) e é paralelo aos vetores $\vec{u}$ = (0,1,0) e $\vec{v}$ = (1, 1, 1). Calcule a menor distância do ponto P$\left(\frac{b}{a},a,1\right)$ ao plano π e assinale a opção correta.

O divergente do campo F(x,y, z) = (x² + $\lambda$sin(x + y),y² + cos(y + z),z² +xz) em (0,0,0) é 1. Sendo assim, qual o valor de $\lambda$?

Sejam os vetores, v₁ = [1 0 −1], v₂ = [2 1 3], v₃ = [4 2 6] e w = [3 1 2].

Classifique as afirmações como verdadeiras ou falsas.

I) w pertence ao subespaço gerado por {v₁, v₂, v₃}.

II) Os vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente dependentes.

III) A dimensão do subespaço gerado por {v₁, v₂, v₃} é 3.

As seguintes afirmações são VERDADEIRAS:

Escreva o vetor v = ( 15, 5, 20 ) de R3 como uma combinação dos vetores x = ( 1, 1, 2) , y = (1,-1 , 0) e z = (3,1, -3 ) e assinale a opção correta.

Dado $\phi =xy+yz+xz$, o gradiente de $\phi$, no ponto (1, 2, 3), será:

A divergência de A em um dado ponto P é o fluxo que sai, por unidade de volume, à medida que o volume se reduz a zero em torno de P. Sendo assim, assinale a opção que ilustra a divergência negativa.