Questões de Concurso sobre Espaços Vetoriais

Considerando que $\overrightarrow{u}$ x $\overrightarrow{v}$ represente o produto vetorial entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$, e que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ represente o produto escalar entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$, é correto afirmar que $\overrightarrow{u}$ x ($\overrightarrow{v}$ x $\overrightarrow{w}$)corresponde a

Os vetores seguintes são coplanares,

$\overrightarrow{V}$ = (1,1,2)

$\overrightarrow{U}$ = (2,m,0)

$\overrightarrow{Z}$ =(2,3,1)

O valor de m é de:

Considere as bases ordenadas $B=\{(1,1,-1),(0,-1,1),(-1,0,1)\}$ e $C=\{(1,0,0),(0,0,-1),(1,1,0)\}$ para ${\mathbb{R}}^3$ e o vetor $\overrightarrow{u}$de ${\mathbb{R}}^3$ com a seguinte matriz de coordenadas com relação à base C:

$[\overrightarrow{u}{]}_c=$ $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$.

Dessa forma, é correto afirmar que as coordenadas de $\overrightarrow{u}$ com relação à base B são:

Se α é o ângulo formado entre os vetores $\overrightarrow{u}$ = (2,0, 2) e $\overrightarrow{v}$ = (1,0, 3), então pode-se afirmar que sena é igual a

Seja D o subespaço de $p_2=\left\{a,b,c\in \mathbb{R}|a{t}^2+bt+c\right\}$ gerado pelos vetores $\overrightarrow{v_1}=t^2-2t+1$, $\overrightarrow{v_2}=t+2$ e $\overrightarrow{v_3}=t^2-3t-1$. Assinale a opção que apresenta a dimensão do subespaço D.

Seja $\overrightarrow{F}(x,y,z)=y{z}^2\overrightarrow{i}+t.x{z}^2\overrightarrow{j}+s.xyz\overrightarrow{k}$ um campo vetorial definido em R³, com as constantes reais s e t, e sabendo que $\overrightarrow{F}$ é um campo vetorial conservativo, é correto afirmar que o valor de s + t é igual a:

Seja $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(x+z)\overrightarrow{i}+(y+z)\overrightarrow{j}-2(x+y+z+1)\overrightarrow{k}$ um campo vetorial e S a superfície definida por $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=4-x^2-y^2\}$. Calcule o fluxo do campo vetorial através de S, cujo vetor normal possui componente z positiva, e assinale a opção correta.

Considere o campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y)=y\overrightarrow{i}+(x^2+e^{y^2})\overrightarrow{j}$ e a curva C fronteira da região do plano $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\ge 0,x^2+y^2\le 1\}$ orientada no sentido anti-horário. Calcule ∮_c $\overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}$ e assinale a opção correta

Dois vetores estão no plano xy. Eles representam, respectivamente, velocidade e campo magnético. tem módulo igual a 4 e ângulo de 30º, tem componentes . Determine o vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores

Dados dois vetores $\overrightarrow{u}$ = $a$ $\overrightarrow{i}$ + $b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}e\overrightarrow{v}=d\overrightarrow{i}+e\overrightarrow{j}+f\overrightarrow{k}$ chamamos de produto vetorial e o simbolizamos por $\overrightarrow{u}$ ∧ $\overrightarrow{v}$ . Realizando a operação, teremos

$\overrightarrow{u}$ ∧ $\overrightarrow{v}$ $=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right|$

Considerando o cenário acima, avalie as asserções e a relação proposta entre elas.

I. Assim sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ³ três pontos, a área do paralelogramo formado pelos vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ é dada por $||\overrightarrow{AB}||$ $||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||$

PORQUE

II. A altura do ∆𝐴𝐵𝐶 relativa ao lado 𝐴𝐵 mede $h=||\overrightarrow{AB}||||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||$ .

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Sejam 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ³ dois pontos dados por 𝐴 = (4, −2,1) e 𝐵 = (3,5,2) e $\overrightarrow{v}$ = (2, −2,0), o produto escalar dado por $\overrightarrow{v}$ $.\overrightarrow{AB}$ será

Os seguintes vetores $\vec{A}=4\vec{i}+2\vec{j}$ e $\vec{B}=3\vec{i}+n\vec{j}$ , em que n é um escalar, são ortogonais. Determine n e assinale a alternativa CORRETA.

Analise as afirmativas abaixo.

I- Seja V um espaço vetorial com produto interno. Se $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ $\in$ , $V$ existe pelo menos um vetor $\overrightarrow{v}$ $V$$\in$ V que faz com que <$\overrightarrow{w}$ , $\overrightarrow{m}$ > $\ne$ 0, em que $\overrightarrow{w}$ = |$\overrightarrow{u}$|$\overrightarrow{v}$ + |$\overrightarrow{v}$|$\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{m}$ =|$\overrightarrow{u}$|$\overrightarrow{v}$ - |$\overrightarrow{v}$ |$\overrightarrow{u}$ .

lI- O núcleo de toda transformação linear T: R^S $\to$ R³ tem dimensão maior ou igual a 3.

III- Se a transformação linear T: R^m $\to$ Rⁿ é injetiva então a dimensão da imagem de T é igual a m.

IV- Se $\lambda$ é um autovalor do operador invertível K, então $\lambda$ ^-1é um autovalor de K^-1

Assinale a opção correta.

Sejam $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ vetores do IR³. Sabe-se que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0},\left|\overrightarrow{v}\right|=\frac{1}{2},\left|\overrightarrow{u}\right|=\frac{3}{2}\text{e}\left|\overrightarrow{w}\right|=2$. Assinale a opção que apresenta o valor de $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}.$

Seja V um espaço vetorial e $S=\left(\overline{u1};\right)u;,\sim u;$ }s = {i um conjunto de vetores de V, todos distintos entre si e sejam

$A=\left\{\overline{u1},LJi\right\}$ e $B=\left\{\overline{v3};t4\right\}$ , é possível afirmar que se S é um conjunto:

Marque a alternativa que apresenta o valor de k para que o vetor $\overrightarrow{V}$ seja uma combinação linear dos vetores $\overrightarrow{T}$ e $\overrightarrow{W}$ .

$\overrightarrow{V}\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ k\end{array}\right]$,______ $\overrightarrow{T}\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$,______ $\overrightarrow{W}\left[\begin{array}{c}2\\ -2\\ 5\end{array}\right]$

Dado um, suponha que o mesmo é autovalor de A invertível e que é autovalor de B com mesmo autovetor $\overrightarrow{u}$. Calcule o autovalor associado ao autovetor $\overrightarrow{u}$de A².

Vetores diretores das retas r e s são v = (1, 1, 2) e w = (1, 1, 0), respectivamente. Um ponto P ∈ r é (0, 1, 0) e um ponto Q ∈ s é (0, 0, 1), logo $\overrightarrow{PQ}$ = (0, −1, 1). Portanto, a distância entre r e s é:

A dimensão da imagem de T é igual a 3.