Questões de Concurso sobre Espaços Vetoriais

Os espaços vetoriais têm aplicações em muitas áreas que envolvem dados, sistemas dinâmicos, otimização e modelagem. Para que um conjunto de vetores seja um espaço vetorial deve satisfazer algumas condições. Observe, por exemplo os conjuntos de vetores

$A=\left\{\left(a,2a,4a\right):aϵR\right\};$ $B=\left\{\left(1,y,z\right):y,zϵR\right\};$ $C=\left\{\left(x,x+4\right):xϵR\right\}$ e $D=$ $\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}a& a+b\\ a& b\end{array}\right]:a,bϵ\mathbb{R}\end{array}\right\}$.

Quais desses conjuntos são espaços vetoriais reais?

No espaço vetorial M₂(IR), considere os seguintes subespaços vetoriais:

E = $\left\{\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)|x-2y+3z-t=0\end{array}\right\}$

F = $\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right);\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -3\end{array}\right);\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 4\end{array}\right)\end{array}\right]$

Uma base para a soma E + F é:

Dados o subespaço W = {(x,y,z) $\in$ ${\mathfrak{R}}^3$ ,x + z = 0 e x - 2y = 0}, determine um conjunto de geradores.

No o campo vetorial:

$\overrightarrow{F}$ = (x,y,z) = xcos(y) $\overrightarrow{i}$ + xysen(z) $\overrightarrow{j}$ + zcos(x) $\overrightarrow{k}$, o vetor rotacional é dado pelas componentes

Sejam os subespaços vetoriais em ℝ³ : $W\left[\left(1,1,2\right),\left(0,1,1\right)\right]$ e $U=\left\{\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3/3.x+6.y-9.y=0\right\}$. Uma base para o subespaço $U\cap W$ é:

Fonte: LIPCHUTZ, S. Lipschutz, S.; Lipson, M.: Álgebra Linear - Coleção Schaum. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

Considere a transformação $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ definida por $T\left(x,y,z\right)=\left(-2y+z,-x+y\right)$ e analise as afirmações a seguir:

I - $T$ é uma transformação linear.

II - $T(v)=(0,0)$ se e só $v=(0,0,0)$.

III - $T$ pode ser definido pela matriz $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

IV - Se $A=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ $\in$ ${\mathbb{R}}^3$ é linearmente independente, então $T\left(v_1\right),T\left(v_2\right)$ e $T\left(v_3\right)$ $ϵ{\mathbb{R}}^2$ também são linearmente independentes.

V - O conjunto imagem de $T$ é um subespaço vetorial de ${\mathbb{R}}^2$ de dimensão 1.

Está correto apenas o que se afirma em

O volume do paralelepípedo formado pelos vetores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, e $\overrightarrow{AD}$ onde 𝐴(1, 2, −1), 𝐵(5, 0, 1), 𝐶(2, −1, 1) e 𝐷(6, 1, −3) é dado por:

Sejam 𝑾 = {(𝟐, 𝟒), (𝟑, 𝟎)} e 𝒀 = {(𝟏, 𝟐), (𝟓, 𝟒)} duas bases do espaço vetorial ℝ^𝟐. Escrevendo o vetor (𝟓, 𝟐)_𝑾 na base 𝒀, obtém-se o vetor

Considere as afirmações a seguir.

I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.

II. Seja 𝐹 o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja 𝐴 ⊂ 𝐹, o subespaço gerado pelas funções 𝑓, 𝑔, 𝑟, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑒^−𝑥, 𝑟(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥), isto é, 𝐴 = ⟨𝑒^𝑥, 𝑒^−𝑥 , 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)⟩. Como a dimensão de 𝐴 é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre 𝐴 e ℝ³.

III. Seja 𝑇: ℝ⁴ → ℝ³ uma transformação linear, tal que 𝑁(𝑇) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de 𝑇 é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: 𝑢 ∼ 𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, podemos dizer que $\frac{R^4}{\sim }=$ {$\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}$}.

IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço 𝑉, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.

V. Dados 𝐴, 𝐵, subespaços de um espaço vetorial 𝑉, o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐 ∈ 𝑉: 𝑐 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑐 ∈ 𝐵} não é um subespaço de 𝑉.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

No espaço vetorial R³, a representação do vetor 𝒗 = (𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎) na forma de matriz, na base 𝑾 = { (𝟏, 𝟏, 𝟎), (𝟎, 𝟏, 𝟎), (𝟏, 𝟎, 𝟏)}, é dada por

Os vetores da forma (15x, 75y, 15z) sempre estão em W, para quaisquer valores de x, y e z números reais.

Existem dois vetores (a,b,c) e (x,y,z) em W, tais que (a,b,c) ≠ (mx, my, mz) para qualquer valor de m, com m um número real.

O conjunto $G=\left\{\left(1,3,6\right),\left(1,2,1\right),\left(1,1,-4\right)\right\}$ de vetores em ℝ³ gera o subespaço 𝒮.

O conjunto 𝒮 é um subespaço de ℝ³ de dimensão 3.

Os vetores (0,1,5) e (1, 1, -4) pertencem a 𝒮 e são linearmente independentes.

Um aluno ao resolver um sistema linear com 3 equações do tipo ax + by + cz + d = 0, identificou, corretamente, que ele era possível e indeterminado. Isso significa que, na representação geométrica desse sistema, os planos dividiam o espaço em, apenas,

Um campo vetorial é definido pela função $\overrightarrow{F}(x,y)=$ $\left(\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$. O divergente desse campo vetorial, no ponto A(2,–5), é

Sejam os vetores reais e não nulos $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ definidos sobre um espaço vetorial V. Para que esses dois vetores sejam ortogonais, é necessário que o produto

Se U = {$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ : a - c + d = 0 e b - 3d = 0} e T = $\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right];\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 4\end{array}\right]\end{array}\right\}$ são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, então é correto afirmar que a dimensão da soma U + T é igual a

Considere T(x, y, z) o operador linear de ${\mathbb{R}}^3$ que apresenta os seguintes valores próprios e vetores próprios:

${\lambda }_1=1$ e ${\overrightarrow{v}}_1=\left(1,1,0\right)$; ${\lambda }_2=-1$ e ${\overrightarrow{v}}_2=\left(0,1,1\right)$; e ${\lambda }_3=2$ e ${\overrightarrow{v}}_3=\left(0,0,1\right)$ .

O valor de T(2, –5, 7) é