Questões de Concurso sobre Distribuição Multinomial

Em uma entidade pública, em que o número X de processos instruídos para determinada finalidade segue uma distribuição condicional na forma

$P(X=k\mid U=u)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)u^k(1-u{)}^{5-k}$

na qual k∈{0,1,…,5} e U segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], 5 processos administrativos foram selecionados aleatoriamente de um sistema eletrônico.

Nessa situação hipotética, P(X=5) é igual a

A distribuição de gols por partida nessa temporada é bimodal.

O secretário de obras de uma prefeitura precisa distribuir 7 projetos de melhoria entre 3 departamentos. Devido à sua complexidade, o Departamento Central deve receber exatamente 3 projetos, enquanto os outros dois departamentos devem receber, cada um, exatamente 2 projetos. O número de maneiras que essa distribuição pode ser realizada é:

Se X₁, X₂, ..., X_n é uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma função de densidade de probabilidade f com função de distribuição acumulada F e se Y₁ ≤ Y₂ ≤ ... ≤ Y_n são as estatísticas de ordem correspondentes, então a função de densidade de probabilidade da $\alpha$-ésima estatística de ordem será dada por

A moda dessa distribuição é igual a 6.

Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o número de ocorrências de um certo evento A em 𝑡 unidades de tempo.

A distribuição de probabilidade de 𝑋 segue a distribuição de Poisson, isto é, a probabilidade de {𝑋 = 𝑥} é dada por:

𝑒^−𝜆𝑡(𝜆𝑡)^𝑥/𝑥!,

em que 𝜆 é a taxa de ocorrência por unidade de tempo.

Considerando o exposto, o valor esperado do tempo entre duas ocorrências consecutivas do evento A, é

Suponha que serão comparadas as probabilidades de duas distribuições multinomiais X e Y com o mesmo número k de categorias. Sejam p₁₁, p₁₂, ... p_1k as probabilidades associadas para a variável multinomial X e sejam p₂₁, p₂₂, ..., p_2k, as da variável Y.

Deseja-se testar H₀:p_1j = p_2j, j = 1, ..., k, com base numa amostra aleatória simples de tamanho n₁ da variável X e em uma amostra aleatória simples de tamanho n₂ da variável Y. Suponha ainda que são obtidas N_1j observações nas classes j = 1,..., k, da variável X e N_2j observações nas classes j, j = 1, .. k, da variável Y. Se as amostras são independentes, então, sob H₀, a variável

Q =${\sum }_{i=1}^2$ ${\sum }_{j=1}^k$ $\frac{{\left(n_{ij}-n_i{p}_j\right)}^2}{n_i{p}_j}$

tem distribuição assintótica qui-quadrado com

Se X₁, X₂,..., X_n é uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma distribuição Poisson com parâmetro $\lambda$ então a variável ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ tem distribuição

Quanto aos casos gerais e particulares entre diferentes distribuições de probabilidade, é correto afirmar que:

X₁, X₂ e X₃ são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson de parâmetros 2, 4 e 6, respectivamente.

Nesse caso, a variável Y = X₁ + X₂ + X₃ tem distribuição

Sejam 𝑋₁ , 𝑋₂ e 𝑋₃ variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson de parâmetros 3, 4 e 5, respectivamente. Nesse caso, a variável 𝑌 = 𝑋₁ + 𝑋₂ +𝑋₃ tem distribuição de Poisson com parâmetro igual a:

Suponha que uma Variável Aleatória X tenha distribuição Exponencial com parâmetro $a$ . Sabendo que a média amostral de X é igual a e, qual é o máximo valor que a função de log-verossimilhança pode assumir?

Dado: e = 2,71 e $n$ =20.

A seguinte amostra aleatória simples foi observada de uma distribuição Bernoulli(p):

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Nesse caso, a estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a

Uma população é constituída por N indivíduos, dos quais K têm uma certa característica A. Se sortearmos ao acaso n elementos diferentes dessa população, então a variável X = número de elementos que têm a característica A na amostra tem distribuição de probabilidades

Se Y seguir uma distribuição exponencial com média igual a 1, então, para $x$ > 0, a função de densidade da variável aleatória X será $f(x)$ = $(x+1{)}^{-2}$.

Cinco alunos foram selecionados aleatoriamente e observou-se os seguintes tempos, em minutos, para resolver uma questão de matemática: {15, 6, 1, 12}. Considerando que os tempos seguem uma distribuição exponencial com parâmetro λ, a estimativa de máxima verossimilhança para λ é:

Considere uma amostra x₁, …, x_n da distribuição de Poisson com parâmetro λ. Considere uma distribuição a Priori para λ uma distribuição Gama(2,2).

Se em uma amostra da distribuição de Poisson com tamanho n=10, o valor da média amostral foi de 7, o estimador de Bayes com relação à perda quadrática (valor esperado da distribuição a posteriori) é

Em uma avenida, o número de carros que passam por minuto segue uma distribuição de Poisson com média de 2 carros.

A probabilidade de passar mais do que dois carros por minuto é:

Seja X uma variável aleatória com distribuição beta com função densidade

f_x(x) = $\{\begin{array}{c}3x^{2}se0<x<1\\ 0casocontr\acute{a}rio\end{array}$

Considere a distribuição Y ~ U (0,1) , onde U (0,1) é uma distribuição uniforme padrão, e o interesse é na simulação de observações da variável aleatória X, pelo método de aceitação/rejeição. Com essa finalidade, foram obtidos os seguintes pares de números pseudoaleatórios das variáveis Y e U:

Os dois valores aceitos como observações de X, considerando os cinco pares de valores obtidos, são:

Considere a distribuição Beta(1,β) com função densidade de probabilidade f(x) = β(1- x)^β-1, x ∈ [0,1]. Usando o método da transformação inversa para gerar números aleatórios X de Beta(1,β) e considerando que a variável aleatória U é distribuída uniformemente no intervalo (0,1), temos que X é obtido por