Questões de Concurso sobre Estimador de Momentos

A distribuição de número de peças defeituosas (x) em caixas de 5 peças cada uma é admitida que obedece à lei de Poisson, ou seja, P(x = xi) = $\frac{{\lambda }^{{}^{{}^{x}i}e-\lambda }}{x_{{}_i!}}$. Analisando uma amostra aleatória de N caixas, foi constatada a seguinte distribuição

Observação: n_i é o número de caixas contendo xi peças defeituosas e M é o número de caixas com nenhuma peça defeituosa.

Utilizando o método dos momentos obtém-se que a estimativa pontual do parâmetro λ é igual a 0,82. A quantidade de caixas da amostra que apresentou menos que duas peças defeituosas foi

Dez observações foram obtidas de uma distribuição de Poisson com parâmetro $\delta$ , que estão listadas abaixo:

0___0___1___1___2___2___3___3___3___5

Qual o estimador de momentos para $\delta$ ?

Suponha que uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (a , b), em que nem a nem b são conhecidos. Utilizando o método dos momentos, com base em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 1 e 4 para a e b, respectivamente. O valor do momento de ordem 2, centrado na origem, correspondente aos elementos da amostra é

Uma amostra aleatória de tamanho 5 de uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo (0 , M) forneceu os seguintes valores: 1,5 ; 0,6 ; 1,4 ; 0,8 ; 1,7. O valor de M, obtido pelo método dos momentos, com base nesta amostra, é igual a

Deseja-se obter uma estimativa pontual do parâmetro p da distribuição geométrica P(X = x) = (1 − p)^{x − 1}p (x = 1, 2, 3, . . . ) sabendo-se que o acontecimento cuja probabilidade é p ocorreu em 5 experiências, pela primeira vez na primeira, terceira, segunda, quarta e segunda, respectivamente. Utilizando o método dos momentos, encontra-se que o valor desta estimativa é

A curtose da distribuição em questão pode ser avaliada com base na estimativa do quarto momento central, a qual deve ser comparada com o valor de referência 3, visto que todas as distribuições simétricas possuem quarto momento central igual a 3.

O coeficiente de assimetria amostral de uma distribuição é dada em função dos momentos amostrais, sendo

onde u_k é o k-ésimo momento da variável k. Considere uma amostra com os seguintes valores x=(10,11,12,4,11). O coeficiente de assimetria é dado por:

Qualquer estimador obtido pelo método dos momentos é uma função de estatística suficiente.

Independentemente da forma da distribuição D, o estimador W produzido pelo método dos momentos não é viciado para .

Seja (X₁,X₂,...,X_n) uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída, de tamanho n, extraída de uma população, cuja característica estudada, X, possui distribuição de probabilidade F_x(x,θ)

$F_x\left(x,\theta \right)=1-e^{\left(-\frac{x}{\theta }\right)},x>0,\theta >0.$

Uma amostra aleatória de tamanho n = 5 foi selecionada, e os valores obtidos foram (8, 9, 11, 5, 6).

As estimativas para o parâmetro θ, utilizando o método da máxima verossimilhança e o método dos momentos, respectivamente, são

O terceiro e o quarto momentos — ou momentos nãocentrais, ou momentos em torno da origem — da distribuição Y são iguais.

Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por:

Utilizando-se o método dos momentos, uma estimativa de β baseada na amostra (0,2; 0,3; 0,5) é dada por

As estimativas de máxima verossimilhança para a e b podem ser calculadas pelo método de Newton-Raphson, encontrando-se a solução de um sistema de equações de verossimilhança utilizando-se, por exemplo, como valores iniciais, as estimativas de momentos de a e b.