Questões de Concurso sobre População Normal com Variância Desconhecida

Uma amostra aleatória de tamanho 𝑛 = 100 de uma população normalmente distribuída com média 𝜇 e variância 𝜎² forneceu os seguintes resultados:

$\bar{x}=81,2,{\sum }_{i=1}^{100}(x_i-\bar{x}{)}^2=2475$

Deseja-se testar:

𝐻₀: 𝜇 ≤ 80versus𝐻₁: 𝜇 > 80,

ao nível de significância de 5%.

A variância populacional é desconhecida. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o critério de decisão baseado na estatística 𝒕 (ou equivalentemente na média amostral $\overline{x}$ ) e a decisão correspondente:

A amostra aleatória foi retirada de uma população normal com desvio padrão igual a 3.

Uma fábrica de alimentos que produz barras de proteína afirma que a quantidade mínima de proteína em cada unidade é de 12 g por unidade do produto. Para verificar a afirmação, um grupo de atletas contratou um laboratório para analisar a quantidade de proteína no produto. Foram avaliadas as quantidades de proteína de 6 amostras, e os resultados foram 12; 10; 11; 9; 13 e 11. Dados os valores Φ(1,64) = 0,95, Φ(1,96) = 0,975, F(2,01) = 0,95 e F(2,57) = 0,975, em que Φ representa a distribuição acumulada normal padrão e F representa a distribuição acumulada T com 5 graus de liberdade; $\sqrt{2}$ = 1,41 e $\sqrt{3}$ = 1,73.

Considerando o cálculo da estatística adequada para o teste e o nível de 5% de significância, é correto concluir que

Uma amostra de tamanho 25 de uma densidade normal com média $\mu$ e variância $\sigma$² desconhecidas resultou nos seguintes dados:

𝑥̅= 31,2 e ${\sum }_{i=1}^{25}{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2=96$

Deseja-se testar H0: $\mu$ ≤ 30 versus H₁: $\mu$ > 30 usando a estatística t usual.

Assinale a opção que indica o valor da estatística t, o critério de decisão e a correspondente decisão ao nível de significância de 5%.

Seja 𝑿 uma variável aleatória normalmente distribuída com média 𝝁 desconhecida e desvio-padrão 𝝈 = 𝟔. Considere um teste da hipótese nula 𝑯_𝟎: 𝝁 = 𝟒𝟎 contra a hipótese alternativa de que 𝑯_𝟏: 𝝁 > 𝟒𝟎 ao nível de significância 𝜶 e com base em uma amostra de tamanho 𝒏. Com relação ao nível de significância e ao poder desse teste de hipóteses, é INCORRETO afirmar que:

Para testar H₀: $\mu$ ≤ 30 versus H₁: $\mu$ > 30, em que $\mu$ é a média de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com variância 64, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será obtida.

Lembre-se de que, se Z tem distribuição normal padrão, P[ Z > 1,64 ] ≈ 0,05.

O teste uniformemente mais potente de tamanho $\alpha$ = 0,05 rejeitará H₀ se o valor da média amostral observada for maior ou igual a

Considerando-se que os dados seguem uma distribuição normal e sabendo-se que ${\sum }_{i=1}^{10}$ (x_i − $\overline{x}$)² = 2,1, é correto afirmar que a estatística do teste t de Student para a média populacional é inferior a 1, em valor absoluto.

O vetor representa uma estatística conjuntamente suficiente para a estimação da média $\mu$ e da variância populacional.

Para testar H₀: μ ≤ 20 versus H₁: μ > 20, em que μ é a média de uma distribuição normal com variância conhecida e igual a 125, uma amostra aleatória simples de tamanho 100 será obtida e o critério de decisão rejeitará H₀ se o valor da média amostral for maior do que 23.

Se P[ Z > z ] indica a probabilidade de que uma variável com distribuição normal padrão seja maior do que z, então, o tamanho α deste critério de teste será dado por

Com o lançamento de 100 moedas não viciadas, e possíveis resultados equiprováveis de cara ou coroa, é correto afirmar que:

Considere que uma amostra aleatória de tamanho 64 de uma distribuição normal com média $\mu$ e variância 16 será obtida para testar H₀: $\mu$ ≤ 12 versus H₁: $\mu$ > 12 e que será usado o critério de decisão que rejeita H₀ se 𝑥̅ > 13,165.

Nesse caso, o tamanho desse teste é aproximadamente igual a

As equipes de natação A e B, com 75 e 100 componentes, respectivamente, realizaram testes. A equipe A obteve nota média de 9, com variância 8, enquanto a equipe B obteve nota média de 8, com variância 8. Com base nessas informações, calcule o valor do escore de Z, verifique se há diferença significativa entre a média de desempenho das duas equipes ao nível de significância de 5% e assinale a opção correta.

Dados:

H₀: ${\mu }_A={\mu }_B$

H₁:${\mu }_A\ne {\mu }_B$

Se a distribuição das variáveis aleatórias $X$ for desconhecida, então a distribuição da média amostral será normal com média $\mu$ e variância $V$/$n$ .

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂,..., X₄₀₀, de tamanho 400, foi obtida de uma distribuição normal com média desconhecida $\mu$ . Os seguintes dados foram observados:

𝑥̅= 6 e ${\sum }_{i=1}^{400}{X}_i^2=17.991$

Um intervalo aproximado de 95% de confiança para $\mu$ será então dado por

Seja 𝑋 uma variável aleatória, cujo valor esperado é desconhecido e a variância é igual a 123 𝑢², onde 𝑢 é a unidade de medida.

Sejam 𝑋 e 𝑆², a média e a variância amostrais de 𝑋, respectivamente. Com o objetivo de estimar o valor esperado de 𝑋, foi coletada uma amostra aleatória de tamanho 300, cuja média e variância são, respectivamente, 34 𝑢 e 52 𝑢².

Considerando o exposto, de acordo com os conceitos da inferência estatística, analise os itens a seguir.

I. O valor esperado de 𝑋 não depende do tamanho da amostra.

II. A estimativa do valor esperado de 𝑋 é 34 𝑢.

III. A variância de 𝑋 é 52 𝑢².

Está correto o que se afirma em

Considere a seguinte situação hipotética:

A administração tributária do município de Nova Karlsruhe introduziu uma nova malha fiscal com o objetivo de incrementar a arrecadação das empresas com um determinado imposto. Antes da introdução da nova malha fiscal, cada empresa arrecadava para o município, em média, R$ 206 mil mensais com o imposto, com distribuição normal e desvio padrão de R$ 12 mil mensais. Depois da implementação da nova malha fiscal, a administração tributária coletou uma amostra de 30 empresas, obtendo uma média de arrecadação de R$ 210 mil mensais com o imposto.

$■$ Observação 1: considere que a introdução da nova malha fiscal é a única variável que impacta na arrecadação do imposto. Considere ainda que não há sazonalidade, variação da atividade econômica ou qualquer outra variável que impacte na arrecadação do imposto.

$■$ Observação 2: Z_α = Z_10% = 1,28

Com um nível de significância de 10%, a administração tributária do município de Nova Karlsruhe pode concluir que a introdução da nova malha fiscal incrementou a arrecadação das empresas com o imposto?

A estimativa da variância da média estimada é maior que 0,2.

Uma amostra aleatória simples x1, x2,..., x25, de tamanho 25 foi obtida de uma variável populacional normalmente distribuída com média $\mu$ desconhecida e variância $\sigma$² = 100. A média amostral obtida foi 𝑥̅= 60.

Lembre-se de que, se Z tem distribuição normal padrão, então P [ Z < 1.96 ] = 0,975.

Um intervalo de 95% de confiança para $\mu$ será então dado por

Um analista busca evidenciar estatisticamente a conjectura de que a valorização média das cotas dos fundos imobiliários negociados no mercado em 2023 tenha sido superior a 15%. Supõe-se que as valorizações das cotas sigam distribuição Normal, sendo o desvio padrão desconhecido. Com base nas observações de uma amostra aleatória de tamanho 16, ele observa que a valorização média foi de 15,85%, com desvio padrão amostral igual a 2%.

Considerando os três níveis de significância usuais (0,01, 0,05 e 0,1), a conjectura investigada:

Uma distribuição de probabilidades é usada para determinar a média de uma população, a partir de uma amostra. Nesse problema, não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser normal. Considere que o tamanho da amostra é igual a nove, e se deseja testar uma hipótese com 5% de significância. Dois estatísticos utilizam duas distribuições diferentes. O estatístico Tiago utiliza a distribuição t de Student e o estatístico Nelson utiliza a distribuição normal. Se o valor da estatística teste obtido é exatamente igual a 2 para o problema analisado, é correto afirmar que ao testar a hipótese estatística:

Obs. Considere os valores críticos da estatística t de Student t_8;5%=2,3 e da estatística normal Z_5%=1,96.