Questões de Concurso sobre Hipérbole

Gael precisa fazer um trabalho de artes sobre os 12 deuses olímpicos: Zeus; Hera; Poseidon; Atena; Apolo; Ártemis; Ares; Afrodite; Hermes; Deméter; Dionísio; e Hefesto. Ele precisa escolher, pelo menos, 1 e, no máximo, 3 deles para fazer um desenho.

Com base nessa situação hipotética, Gael pode fazer isso de

Leia o texto a seguir com atenção:

"O cometa Halley é um cometa periódico que faz a sua passagem pelo planeta Terra a cada 76 anos em média. Foi o astrônomo britânico Edmond Halley (1656-1742) quem primeiro identificou essa propriedade do cometa e previu corretamente a próxima data de retorno, motivos que levaram à nomeação do cometa em sua homenagem. A última aparição do cometa Halley aconteceu no ano de 1986, quando ele esteve a 63 milhões de quilômetros de distância da Terra. Segundo a Nasa, o Halley estará mais uma vez visível nos céus no ano de 2061."

O número que representa o tempo médio em que o cometa Halley passa pelo planeta Terra, em algarismos romanos, é:

A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto 𝐴 e seguir em direção a 𝐹₂, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto 𝑃, e segue em direção a 𝐹₁.

Considere a hipérbole 4𝑥² − 5𝑦² = 20 de focos 𝐹₁ e 𝐹₂, com 𝐹₁ à esquerda de 𝐹₂. Qual das retas abaixo dá a direção do raio que deve partir do ponto 𝐴(1,3) para ser refletido no ramo da direita da hipérbole e caminhar em direção a 𝐹₁?

Considere as seguintes afirmações sobre as hipérboles:

I. As assíntotas da hipérbole, sobre o eixo Oy, são as retas: 𝑦 = ±$\frac{b}{a}$.𝑥

II. Dizemos que uma hipérbole é equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal, isto é, a = b.

III. Uma hipérbole sobre o eixo Ox possui equação $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ = 0

IV. A excentricidade da hipérbole é dada por 𝑒 = $\frac{c}{a}$

V. Uma hipérbole sobre o eixo Oy possui equação $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$ = 1

VI. As assíntotas da hipérbole, sobre o eixo Ox, são as retas: 𝑥 = ±$\frac{b}{a}$.𝑦

Podemos dizer que:

Fonte: STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.

Uma hipérbole é dada pela equação: –9x² + 4y² + 72x + 8y – 284 = 0. A excentricidade desta hipérbole é igual a

Considere as equações e, h, p e q.

e: 9x² + 25y² + 54x − 100y − 44 = 0

h: 9x² − 16y² + 54x + 64y + 161 = 0

p: y² − 8x + 16 = 0

q: x² − y² + 2xy + 8y − 8 = 0

Analise as afirmativas abaixo em relação a essas equações.

I - A distância focal da hipérbole h é 10.

II - Os vértices da elipse e que formam seu eixo menor coincidem com os vértices da hipérbole h.

III - As retas tangentes à curva p nos pontos de abscissa igual a 4 são as bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares.

IV - O gráfico de q é formado por duas retas concorrentes perpendiculares.

É correto afirmar que

Dados dois pares ordenados (–4,0) e (4,0) que representam os focos de uma hipérbole de excentricidade igual a 2, é possível dizer que a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas é:

Fonte: STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.

Considere a hipérbole $H$ de equação $x^2-\frac{y^2}{4}=1$. Seja $T$ um triângulo de vértices $P$; $F_1$; $F_2$, onde $F_1$ e $F_2$ são os focos de $H$ e $P$ um ponto em $H$. Sabendo que o perímetro de $T$ é $5\sqrt{5}$, o produto da medida dos lados de $T$ é

Seja P(x₀, y₀) o ponto da hipérbole x² - y² = 2 mais próximo do ponto (0,1) Sabendo que x₀ · y₀ > 0, qual é o de valor x₀ + y₀?

A largura MN e a medida IL (distância do pênalti ao gol) são, respectivamente, iguais a

Na observação astronômica, o telescópio refletor, com espelho parabólico no fundo de um tubo (figura 1), é bastante utilizado. Os raios provenientes de corpos celestes formam um feixe praticamente paralelo, refletem no espelho parabólico e formam a imagem no foco F da parábola.

Figura 1

Esse modelo de telescópio apresenta um problema: o observador precisa estar no foco da parábola para ver a imagem. Em 1672, o astrônomo Cassegrain propôs a utilização de um espelho hiperbólico (espelho E) para resolver o problema. Essa hipérbole do espelho terá F como um dos seus focos. Os raios que iriam formar a imagem em F são refletidos no espelho E e formam a imagem no ponto F1 fora do tubo do telescópio (figura 2).

Figura 2

Considerando o modelo plano, como sugerem as figuras, tomamos a parábola com equação y² = 16$x$ e foco F, a hipérbole (do espelho E e um dos focos F) com excentricidade $\frac{3}{2}$, focos na horizontal e uma de suas assíntotas de equação y = $\frac{\sqrt{5}}{2}x+\sqrt{5};$ podemos afirmar que a distância, em unidades de comprimento, entre F e F1 é igual a:

A excentricidade da hipérbole de equação $x^2-4y^2-6x-16y-43=0$ tem valor igual a

Seja b ∈ $R$ tal que a equação

x² − 6bx − (1 − b²)(y² − 2by) + b⁴ + 8b² − 1 = 0

determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta hipérbole podemos afirmar:

Um designer, ao fazer o rascunho da imagem de um novo logotipo para uma empresa, obteve o seguinte desenho:

Figura 4: Construção de Logotipo

Fonte: Do autor

No entanto, o designer não soube passar aos programadores da empresa as equações necessárias para obter o desenho do logotipo em um programa específico.

De acordo com o designer, inicialmente ele criou uma circunferência 𝑐 de raio igual a 2cm e traçou uma hipérbole ℎ sobre dois pontos (𝐴₁ e 𝐴₂) interiores à circunferência, sendo tais pontos equidistantes do centro O da circunferência, com $\overline{A_1{F}_1}=\overline{A_2{F}_2}=\overline{O{A}_1}=\overline{O{A}_2}$ , sendo 𝐹1 e 𝐹2 os focos da hipérbole, pertencentes à circunferência (conforme a figura acima).

Suponha que o ponto O tenha coordenadas (4, 0) e os pontos 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐹₁ e 𝐹₂ estão sobre o eixo 𝑥, a equação da hipérbole procurada é:

Uma hipérbole tem focos F₁(-5,0) e F₂(5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0. O triângulo com vértices em F₁ , P e Q tem área igual a

No plano cartesiano, os focos F₁e F₂ da elipse α : $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$ são pontos diametralmente opostos da circunferência λ e coincidem com as extremidades do eixo real de uma hipérbole equilátera β

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É INCORRETO afirmar que

Um Aspirante da Escola Naval observou que intersectando a superfície S: 2x² + 4z² = 1 com planos paralelos aos planos coordenados ele poderia obter, em cada plano, uma cônica. O Aspirante anota em cartões a equação de cada plano cuja intersecção com S seja uma cônica de distância focal igual a $\sqrt{6}$. Se ele anotou apenas uma equação por cartão, qual a quantidade de cartões que apresenta uma equação cuja intersecção com S é uma hipérbole?

Seja a equação $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ . Com isso, qual será a distância focal da hipérbole a partir da equação dada?

Dadas as afirmativas sobre as funções hiperbólicas definidas no texto e considerando a linguagem da lógica de primeira ordem,

verifica-se que está(ão) correta(s)