Questões de Concurso sobre Raízes de um Polinômio

Sejam x₁ , x₂ , x₃ e x₄ as raízes do polinômio

P(x) = x⁴ − $\frac{5}{4}$ x² + $\frac{1}{4}$ com x₄ < x₃ < x₁ < x₂

Considere, no ciclo trigonométrico, os arcos $a$₁, $a$₂, $a$₃ e $a$₄ dados por sen ($a$₁) = x₁ , sen ($a$₂) = x₂ , sen ($a$₃) = x₃ e sen ($a$₄) = x4, com ${\alpha }_1<{\alpha }_2<{\alpha }_3<{\alpha }_4\text{e}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ e ${\alpha }_4$ ∈ [0 , 2$\pi$]

Considere, também, A, B, C e D os pontos de extremidades dos arcos ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ e ${\alpha }_4$, respectivamente, no sentido antihorário, com origem no ponto de coordenadas (1 , 0)

Analise as afirmações a seguir.

(I) A sequência $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ é uma progressão geométrica.

(II) A sequência $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ é uma progressão aritmética.

(III) A área do polígono ABCD é igual a √3 unidades de área.

É correto afirmar que

Sabendo que o número complexo $\sqrt{2}$ $\left(\cos \frac{\pi }{4}+isen\frac{\pi }{4}\right)$ é raiz do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx − 4, com a e b ∈ IR, então o valor de a – b é igual a:

Considere o polinômio P(x) = 2x³ - 5x² + 4x - 1. Sabendo que uma das raízes desse polinômio é x =1, assinale a alternativa que representa o produto das outras duas raízes.

A soma das raízes da equação de segundo grau (x + 2)² – 5x = 24 será:

Considere o polinômio P(x) = x4 - 6x3 + 11x2 - 6x . Sabendo que uma das raízes desse polinômio é x=1, assinale a alternativa que representa corretamente a soma das raízes restantes.

Sabe-se que polinômio de grau três

𝐴(𝑥) = 𝑥³ − 21𝑥² + 126𝑥 − 176

tem 2 como uma de suas raízes. Sobre este polinômio podemos afirmar que

As Relações de Girard são um conjunto de fórmulas que relacionam as raízes de uma equação polinomial com os coeficientes dos termos do polinômio. Elas são úteis para calcular as raízes de equações polinomiais de grau maior ou igual a 2. Sendo assim, a soma das raízes da equação x³ - 54x² + 51x + 106 = 0 é:

Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥² − $\frac{7}{2}$𝑥 + $\frac{3}{2}$, cujas raízes são 𝑝 e 𝑘.

Os valores de 𝑝 𝑒 𝑘 são, respectivamente:

Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = x⁵ − 2x⁴ − 5x³ + 6x² é igual a zero, pode‐se concluir que ao multiplicar a menor raiz pela maior raiz de P(x) obtém‐se ________.

Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são raízes distintas do polinômio 𝑥³ − 𝑥² − 9𝑥 − 5, então o valor numérico da expressão abaixo é

$\frac{a^5-b^5}{a-b}+\frac{b^5-c^5}{b-c}+\frac{c^5-a^5}{c-a}$

A soma das raízes da equação de segundo grau 2x(x + 1) = 3 + x é:

O produto dos valores de m para os quais –1 é raiz do polinômio p(x) = x³ + mx² – (m² – 1)x – 4 é:

O dobro de um número real acrescido de 36 é igual à raiz cúbica de 8, mais 64. Esse número real é:

Considere a equação $\sqrt{2x^2-1}=x$ e assinale a alternativa correta.

Considere os polinômios 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥. Pode-se afirmar que 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) resulta em:

Para tornar uma aula mais divertida, a professora Bia passou a equação x² - 2x - 15 = 0 para seus alunos resolverem e disse que o primeiro a achar os valores corretos das raízes, ganharia o valor da sua soma em pontos. Quantos pontos o vencedor do desafio ganhou?

O valor de k ∈ $\mathbb{R}$ de modo que as raízes do polinômio p(x) = x3 + 3x² — 6x+ k estejam em progressão geométrica é:

As três raízes são naturais.

A equação $x^6$ + 6 $x$⁵ + 62 $x$⁴ + 334 $x$³ + 1513 $x$² + 6784 $x$ + 21406 = 0 admite como soluções $-4-2i$, $-1-6i$ e $2-5i$. Se $S$ é o conjunto de todas as soluções dessa equação, o maior valor do conjunto {|$x$|:$x$ $\in$ $S$} é:

Considere o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}. Para cada escolha possível de a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ ∈ C, dois a dois distintos, formamos o polinômio

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴.

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a: