Questões de Concurso sobre Teorema de Tales

Diz a história que o filósofo grego Tales de Mileto, para medir a altura de uma pirâmide, desenvolveu um teorema que afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são proporcionais. Esse é o famoso Teorema de Tales.

Diante dessa conceituação, considere assim o seguinte esquema:

É CORRETO afirmar que o valor de x, que satisfaça o problema algebricamente e geometricamente é:

Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal (t) dois segmentos, que medem 12 cm (segmento entre a primeira e segunda paralela) e 42 cm (segmento entre a segunda e terceira paralela). Sobre uma outra transversal (s) este feixe determina, entre a primeira e segunda paralela, um segmento de 30 cm.

Logo o segmento entre a primeira e terceira paralela em s mede, em centímetros:

O gráfico abaixo representa a produção de determinado produto, em toneladas, em função do tempo, em anos, no período de 1990 a 1996.

Sabe-se que tal produção apresentou taxa de crescimento constante até o ano de 2016, de forma que o gráfico que representa essa relação, de 1996 a 2016, é representado por um único segmento de reta. Diante do exposto, pode-se afirmar que a produção, em toneladas, no ano de 2011 foi igual a:

A figura a seguir representa a treliça que José construiu para apoiar as plantas de seu jardim, utilizando ripas de mesma espessura. Nessa construção, o objetivo dele era que as ripas 1, 2 e 3 fossem paralelas. Depois que ele fixou as ripas, concluiu que elas não estavam exatamente paralelas.

Analise as quatro afirmações a seguir.

I. Se a medida EF fosse 13 cm e as demais medidas fossem mantidas, então as ripas 1, 2 e 3 seriam paralelas.

II. Se a medida DE fosse 13,5 cm e as demais medidas fossem mantidas, então as ripas 1, 2 e 3 seriam paralelas.

III. Se a medida AB fosse 19 cm e as demais medidas fossem mantidas, então as ripas 1, 2 e 3 seriam paralelas.

IV. Se a medida BC fosse 7,5 cm e as demais medidas fossem mantidas, então as ripas 1, 2 e 3 seriam paralelas.

As duas únicas afirmações corretas são

Em julho de 2019, 04 (quatro) alunos do CMSM, medalhistas de ouro na OBMEP, viajaram à cidade de Salvador a convite da equipe organizadora da OBMEP, a fim de participarem da premiação. Para eternizar este momento, decidiram tirar uma fotografia no palco do auditório, posicionando-se todos alinhados.

Figura 14: medalhista de ouro OBMEP do CMSM/2018

Fonte: CMSM

O fotógrafo posicionou-se a 3 metros de distância, em frente à aluna localizada no ponto B (primeira linha), contudo, não conseguiu uma boa imagem. Pediu, então que se afastassem 1 metro (segunda linha), permanecendo todos alinhados.

Considere que:

a. o fotógrafo permaneceu na mesma posição (ponto A); e

b. as linhas formadas pelos medalhistas, na primeira e na segunda posição, são paralelas, conforme figura 15 abaixo:

Figura 15: esquema das posições para a fotografia

Fonte: CMSM

De posse das informações acima, calcule a distância entre o fotógrafo e a aluna posicionada no ponto C' (segunda linha de alunos).

Assinale a alternativa que apresenta o valor de 𝑥 − 𝑦, sabendo que as retas a, b e c são paralelas?

O esquema a seguir ilustra a planificação de um trecho urbano, onde aparecem os cruzamentos entre as vias. Sabe-se que as ruas X, Y e Z são paralelas. Algumas das distâncias, aproximadas, entre as ruas são exibidas na imagem.

Suponha que uma pessoa está no cruzamento entre as ruas Z e V e quer ir até o cruzamento entre as ruas Y e W. Para fazer isso ela tem dois caminhos: no primeiro deles a pessoa iria pela rua Z e viraria à esquerda na rua W até chegar ao ponto desejado. No segundo caminho a pessoa continuaria pela rua V e viraria à direita na rua Y até chegar a seu objetivo.

A diferença entre as distâncias percorridas no primeiro e no segundo caminhos pertence a qual dos intervalos a seguir?

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais. O enunciado do Teorema de Tales é expresso pela sentença: “a interseção entre duas retas paralelas e transversais formam segmentos proporcionais.” De acordo com esse teorema, calcule o valor de “x” na figura abaixo:

Um lote no formato de um trapézio retângulo foi dividido com cercas paralelas às suas bases, conforme a figura a seguir. Para reforçar as cercas, necessita‐se de saber os valores de x e y.

Observando‐se, nesse caso hipotético, as medidas apresentadas, x e y valem, respectivamente,

Observe a imagem a seguir:

Disponível em: http://alunosonline.uol.com.br/matematica/tres-erros-comuns-na-regra-tres.html. (Acessado em 06 de novembro de 2017).

Determine o valor de x da figura anterior, e logo em seguida calcule a diferença entre os segmentos AC e DF. Então o resultado dessa operação é igual a:

Observe a figura a seguir:

Nela, as retas a , b , c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r , s e t

Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:

A soma , em cm, é dada por um número divisível por

A entrada do CMSM conta com um lindo vagão, que simboliza a história do colégio pois, ao iniciar-se como instituição de ensino, as aulas eram ministradas cm um vagão. Esse símbolo pode ser conferido na figura 13 a seguir.

Figura 13: Vagão do CMSM

Fonte: CMSM

Os alunos do CMSM, em uma das suas atividades de matemática, resolveram fazer uma arquitetura moderna na imagem do vagão. Com isso, traçaram um feixe de retas paralelas, cortadas por duas transversais na faixada principal do vagão. Para completar a arte, precisaram obter a medida de cada segmento mostrado na figura 14 abaixo. As medidas são dadas em metros.

Figura 14: Feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais

Fonte: CMSM

Obs: A figura 14 está fora de escala.

De posse das medidas apresentadas, calcule a medida do segmento LN.

Na figura a seguir, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e BC do triângulo ABC, tal que o segmento DE é paralelo ao lado AC.

A área do triângulo DEB é igual a um quarto da área do triângulo BAC.

Dessa forma, a razão entre a medida do segmento DE e do segmento AC, nessa ordem, é igual a:

Considere a figura abaixo, onde r, s, t são paralelos.

O valor do segmento x é

Assinale a alternativa que apresenta o valor de X no Teorema de Tales abaixo.

Analise a figura a seguir.

Afigura acima mostra três terrenos com frente para Rua A e Rua B. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida, em metros, de frente para Rua B de cada lote, respectivamente, sabendo que a frente total para essa rua é 180m.

Ao corrigir uma lista de exercícios proposta para os seus alunos, a professora percebeu que quase a totalidade deles não conseguiu resolver a seguinte questão:

(Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?

Disponível em: <http://tudaodematematica.blogspot.com.br/2016_05_01_archive.html>. Acesso em: 11 fev. 2017.

Diante dessa constatação, a professora deve propor à Coordenação Pedagógica da escola aulas de reforço sobre

A ilustração a seguir representa parte de um loteamento residencial. No desenho, estão expressas as medidas reais de alguns segmentos das ruas a, b, c, r e t, determinados por suas intersecções. Considere:

$\bullet$ P a pequena praça entre as ruas a, r e t.

$\bullet$ Q1 é o lote entre a, b, r e t.

$\bullet$ Q2 é o lote entre b, c, r e t.

Dessa maneira, as áreas, em m², de Q1 e Q2 são, respectivamente:

É evidente que, não havendo problemas no desenvolvimento de uma criança, sua altura tende aumentar, em função da faixa etária, sendo estas características, diretamente proporcionais. Este processo faz parte do desenvolvimento e crescimento humano.

Um estudo na área de desenvolvimento humano foi elaborado por Matemáticos e médicos, na qual mapeou a altura de 6 crianças de faixas etárias distintas, todas usando camisas numeradas de 1 a 6, conforme ilustra a figura.

A análise geométrica permite afirmar que três destas crianças encontram-se alinhadas por uma reta tangente às suas cabeças: (criança C₁ , de camisa numerada por 1, criança C₅ , de camisa numerada por 5 e ainda a criança C₆ , de camisa numerada por 6). Estas crianças também estão com as pontas dos pés alinhadas na reta horizontal.

Admitindo que:

- As crianças C₅ e C₆ medem, respectivamente, e 1,35 m e 1,5m de altura.

- As distâncias horizontais$\overline{C_1{C}_6}e\overline{C_5{C}_6}$ são, respectivamente 1,0 m e 20cm.

Calcule, em metros, a altura da criança .