Questões de Concurso sobre Tópicos Avançados de Geometria Analítica

Um poste possui altura $a$ e formato do paraboloide dado pela equação

$z=a-\frac{a}{{\rho }^2}\left(x^2+y^2\right)$,

com raio da base $\rho$, e 0≤ $z$ ≤ $a$. A densidade do poste é dada pela função $\delta (x,y,z)$ = 2$a-z$.

A partir dessas informações, conclui-se que o centro de massa ! do poste está no ponto

Considere as informações abaixo:

Primeira curva: y = e^x

Segunda curva: y = e^-x

Qual é o ângulo entre as duas curvas no seu ponto de intersecção?

Considere o plano 𝝅, dado pela equação 𝟑𝒙+ 𝟔𝒚+ 𝟐𝒛 = 𝟏𝟏. Qual a distância do ponto 𝑷 (𝟓, 𝟓, 𝟒) ao plano 𝝅?

Considerando as seguintes curvas dadas por 𝑦 = −𝑥² + 2𝑥 e 𝑦 = 2 − 𝑥, é correto afirmar que o valor da soma das ordenadas das interseções dessas curvas é de:

Em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos de coordenadas A(2,5), B(3,–7), C(1,4) e D(8,2). Sobre o ângulo θ formado pelos segmentos orientados AB e CD, é correto afirmar que

Chama-se distância do taxista entre dois pontos do plano cartesiano, (𝑥₁,𝑦₁) e (𝑥₂, 𝑦₂), ao número real não negativo dado por |𝑥₁ − 𝑥₂ | + |𝑦₁ − 𝑦₂ |.

O número de pontos do plano cartesiano, com coordenadas inteiras, cuja distância do taxista à origem do sistema de coordenadas é igual a 10 é

O volume da região $E=$ {$(x,y,z)ϵ\mathbb{R}³/z²\le x²+y²\le 2x$} é:

A área formada entre as curvas 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 3 − 𝑥, e os eixos 𝑥 e 𝑦 vale:

Um sólido geométrico é limitado pelo triângulo com vértices de coordenadas (0,0), (2,2) e (4,0) e pela função z = f(x,y) = xy². O volume deste sólido é de

Um professor impôs um desafio aos seus alunos, o desafio era o seguinte: quem conseguisse resolver corretamente em 10 minutos uma determinada tarefa, não precisaria fazer a prova mensal, pois, já garantiria nota máxima na mesma. A tarefa era simples, o aluno deveria encontrar a área A dada pelas seguintes desigualdades definidas no plano cartesiano 2 < 𝑥 < 10 𝑒 0 < 𝑦 <$\frac{x+8}{2}$ .

Apenas dois alunos conseguiram entregar a resposta correta a tempo. assinale a assertiva que evidencia corretamente a resposta que esses alunos apresentaram.

Considere $\beta$ um valor real maior do que zero. O valor da área limitada pelas curvas $y^2=\beta x;$ $x+3y=4\beta$ e pelas retas $x=0$ e $x=B$ é

Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas paralelas distintas, distantes 6 cm uma da outra. Sobre 𝑠, há dois pontos fixos 𝐵 e 𝐶, distintos, distando 5cm um do outro. Um ponto 𝐴 será escolhido na reta 𝑟.

O menor valor que o perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 pode ter é

Seja y=$m$₀$x$ + $c$ a reta que passa pelos pontos $P$ = (2,4) e $Q$ = (−1,−2) no plano e seja $O$ = (0,0). Ao segmento de reta $\overrightarrow{OP}$ é aplicada uma rotação de 30° (sentido anti-horário) transformando o ponto $P$ no ponto $P^{\prime }$. Seja $y$ = $m$₁$x$ + $d$ a reta que passa pelos pontos $P^{\prime }$ e $Q$, então a razão $m_0/m_1$ é igual a:

A equação do plano tangente à superfície dada pela função z = f(x,y) = x²y + 2y, com x ≥ 0 e y ≥ 0, que é paralelo ao plano de equação 2x + 3y – z + 1 = 0 é

Considerando-se y = f(x) dada na forma implícita pela equação da curva C: x³ + y³ – 2xy – 5 = 0, a equação da reta normal à curva C, no ponto P(1,2), é dada por

A distância entre o ponto (1,2,$\sqrt{2}$) e o plano com equação dada por $x-\frac{3}{5}y+\frac{\sqrt{2}}{5}z=1$ é:

O gradiente da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = $\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+4y}$ no ponto 𝑃 (2,$\frac{3}{4}$) é igual a:

O volume do sólido gerado ao rotacionar a função 𝑥² em torno do eixo 𝑥 no intervalo de 0 a 1 é dado por:

Uma superfície é obtida pela rotação da curva $\gamma :3x+y+z=1$ e $2x-y+3z=2$ quando gira em torno do eixo $e:X=(1,1,1)+\lambda (1,1,1);\lambda ϵ\mathbb{R}.$

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A equação dessa superfície é igual a:

O princípio de Huygens à propagação de ondas pode ser usado como base no modelo de um refletor explosivo na aquisição de dados sísmicos. A geometria mais simples envolvida no conceito é imaginar um difrator situado nas coordenadas(𝑥_₀, 𝑧_₀) e um sistema fonte-receptor posicionado nas coordenadas (𝑥, 𝑧 = 0). Veja figura abaixo:

Se o meio for homogêneo e isotrópico, o tempo duplo gasto no trajeto da onda entre o difrator e o sistema fonte-receptor é dado por 𝑡 = 2𝑑 ∙ 𝑝, onde 𝑑 é a distância entre os pontos (𝑥_₀, 𝑧_₀) e (𝑥, 0) e 𝑝 é a vagarosidade (inverso da velocidade) de propagação da onda no meio. Define-se a trajetória de (𝑥₀, 𝑧₀) até (𝑥_₀ , 0) como vertical, então o tempo duplo vertical 𝑡₀ = 2𝑧_₀ ∙ 𝑝, em relação a 𝑡, é: