Questões de Concurso sobre Tópicos Avançados de Geometria Analítica

A área da região limitada pelo gráfico de φ(x) = x²$\sqrt{x+2}$ pelo eixo x e pela reta x = 1, é igual a:

O volume do prisma ABCDEFGH, em unidades de volume consistente com a unidade de comprimento usada nos eixos x, y e z, é igual a

Considere um cubo no qual os oito vértices estejam associados, de forma biunívoca, aos números naturais de 1 a 8. Desse modo, admita a correspondência de cada face desse cubo com o conjunto formado pelos números relativos aos vértices que compõem a respectiva face. Assim, para esse cubo, suponha que esses conjuntos sejam {3,4,6,7}, {1,2,5,8}, {4,5,6,8}, {1,3,4,8}, {2,5,6,7} e {1,2,3,7}.

Portanto, verificando-se as somas dos números das extremidades de cada uma das quatro maiores diagonais desse cubo, o menor valor dentre essas somas é igual a

Sejam $V_A$ e $V_B$ os volumes dos sólidos A e B em $R^3$, respectivamente, em que

$A=\left\{\left(x,y,z\right)\in R^3:36x^2+8y^2+9z^2\le 72\right\}$ e

$B=\left\{\left(x,y,z\right)\in R^3:x^2+y^2+z^2\le 9\right\}$

Então, $V_A$ e $V_B$ são iguais, respectivamente, a

Determine as equações paramétricas da reta 𝑟, tangente à curva formada pela interseção do paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 𝑦² com o elipsoide 𝑥² + 3𝑦² + 𝑧² = 80 no ponto (2, −2,8).

Sejam A e B as cônicas em $R^2$, cujas equações são $9x^2+4y^2=36$ e $4x^2+9y^2=36$, respectivamente. Seja $d_A$ a distância entre os focos da cônica A. Seja, ainda, $d_B$ a distância entre os focos da cônica B. Com base nisso, assinale a alternativa correta.

Batimetria é a operação de medir a profundidade de lagos, rios, mares etc. O senhor S realizou a batimetria de um lago para fins de avaliação de recursos pesqueiros. Após analisar os dados obtidos, ele viu que, considerando um referencial cartesiano, devidamente escolhido, a profundidade do lago, num ponto de coordenadas (𝑥, 𝑦), desse referencial cartesiano, na superfície do lago, pode ser expressa pela equação:

$P\left(x,y\right)={\left(\frac{x-20}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{y-4}{2{\sqrt{3}}^{}}\right)}^2$

Posteriormente, o senhor S levou sua esposa para uma recreativa pescaria nesse lago. Porém, quando chegaram ao ponto 𝑄 = (17,6), ela disse que estava com medo e que não queria ir para partes com maior profundidade. Para tranquilizá-la, ele, todo orgulhoso, disse que conhecia muito bem a profundidade do lago e que continuaria a pescaria navegando sempre sobre a curva isobatimétrica, que é, basicamente, a curva formada pelos pontos que possuem sempre a mesma profundidade. Considerando que ele navegará pela curva que tem sempre a mesma profundidade, a direção na qual ele iniciou o seu deslocamento, a partir do ponto 𝑄, está apresentada na alternativa:

Uma curva parametrizada diferençável $\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ definida em um intervalo I é regular se $a^{\prime }(t)\ne (0,0)\forall t$ $\in$$I$. ${\alpha }^{\prime }(t)\ne (0,0)\forall tϵl$

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É correto afirmar que

Encontre a equação da curva no plano xy que passe por (0,4) e cuja reta tangente em um ponto (x,y) tenha inclinação $\frac{2x}{y^3}$ e assinale a opção correta.

Encontre o volume do sólido gerado quando a região abaixo da curva y = x² e acima do intervalo [0,3] for girada em torno da reta y = -1, e assinale a opção correta.

Seja o pêndulo de um relógio antigo, onde a curva gerada pela extremidade inferior do pêndulo é uma cicloide de equações paramétricas:

𝑥 = 𝑎(𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃) e 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)

A trajetória do pêndulo é uma tautócrona e tem como resultado a equação diferencial:

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{2gy}$

Sabendo que ${\left(\frac{ds}{d\theta }\right)}^2={\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2$, então o tempo necessário para o pêndulo percorrer uma trajetória de 0 a 𝜋, em relação às constantes 𝑎 e 𝑔, é:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x³ , y = 27 e x = 0 em torno do eixo y e assinale a opção correta.

Considere a curva parametrizada diferenciável $\alpha :{\mathbb{R}\to \mathbb{R}}^2$ cuja expressão é $\alpha (t)=(t,cosht),tϵ\mathbb{R}$.

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A função cosseno hiperbólico é definida por

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$\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}.$

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O comprimento de arco da curva $\alpha ,$ de $t=t_0=0$ até $t=t_1=5$ , é igual a

Considere um conjunto 𝐴 ⊂ ℝ³, com 18 pontos distintos entre si, que tem um subconjunto 𝐵, formado por 8 pontos coplanares. Além disso, sabe-se que toda vez que 4 pontos de 𝐴 são coplanares, eles pertencem ao conjunto 𝐵. Determine o número de planos distintos que contêm, pelo menos, três pontos de 𝐴.

Considere 𝑇 uma região triangular com vértices (0,0), (1,0) e (1,3). Sabendo que 𝑉 é o volume do sólido obtido quando 𝑇 é girado em torno da reta 𝑥 = 𝑎, sendo 𝑎 > 1 um número real, assinale a alternativa que expressa a variável 𝑎 em função da variável 𝑉.

O cálculo da área de uma figura plana pode ser realizado com o auxílio de uma integral, que pode ser simples, dupla ou de linha. Com relação a esse assunto, é possível afirmar que a área da região delimitada pela curva $\overrightarrow{r}$(t) = sen(2t) $\overrightarrow{l}$ + 3 cos(t)$\overrightarrow{ȷ}$, $-\frac{\pi }{2}$ $\le t\le \frac{\pi }{2}$, orientada no sentido horário, vale, em unidade de área:

Em relação à teoria de parametrização de superfícies, a superfície de equação vetorial $\overrightarrow{r}$ (R, θ) = Rcos(θ)$\overrightarrow{l}$+ Rsen(θ)$\overrightarrow{J}$+ ( 1 - Rcos(θ) - Rsen(θ))$\overrightarrow{k}$ ; 0 ≤ R ≤ 2,0 ≤ θ ≤ 2$\pi$ representa a parte:

Decidido a apagar um incêndio no topo de um prédio, um bombeiro de massa 74kg, munido de 2 baldes cheios de água, cada um com massa de 8 kg, sobe completamente a escadaria de um prédio de 36m de altura. A posição do profissional em função do tempo pode ser descrita pelas equações x(t) = 6cos(t),y(t) = 6sen(t),z(t) = $\frac{6}{\sqrt{\pi }}\sqrt{t}$, em que x, y e z são dados em metros e t em segundos. Com base nessas informações, considerando g = 10 m/s² e $\pi$ = 3,14, o trabalho realizado pelo bombeiro contra a gravidade em sua trajetória, em kJ, vale:

Um segmento de reta de comprimento $a+b$ , com 0 < $a$ < $b$, se move com seus extremos A e B sempre posicionados sobre eixos coordenados. Se P indica o ponto desse segmento que dista exatamente $a$ do extremo A e $b$ do extremo B, a curva descrita pelo ponto P é

A figura indica o gráfico da função f: $\mathbb{R}$ - $\left\{\frac{5}{2}\right\}$ $\to$ $\mathbb{R}$, definida por f(x) = $\frac{3}{2x-5}$, e o segmento de reta $\overline{PQ}$, que intersecta o gráfico de f(x) em P(3, y_P) e Q(5, y_Q).

Nas condições dadas, a área da região marcada em cinza na figura, em unidades de área do plano cartesiano de eixos ortogonais, é igual a