Questões de Concurso sobre População Normal com Variância Conhecida

Um médico pesquisador clínico conduz um ensaio experimental para avaliar a eficácia de um novo fármaco na redução da pressão arterial sistólica (PAS). O estudo seleciona uma amostra de 60 pacientes com hipertensão essencial, divididos aleatoriamente em dois grupos independentes, de 30 indivíduos: um recebeu o fármaco e outro um placebo. Após 6 meses, os resultados demonstram que a redução média da PAS no grupo intervenção foi de 15 mmHg (desvio padrão: 10), enquanto no grupo placebo a redução média foi de 5 mmHg (desvio padrão: 12). A aplicação do teste t de Student para amostras independentes (bi-caudal) resultou em um valor de p: 0,001. Adicionalmente, o pesquisador calculou o coeficiente de correlação de Pearson entre a idade dos participantes e a magnitude da redução pressórica, obtendo um valor de r = 0,60. Para uma análise secundária, os pacientes foram classificados de forma dicotômica entre os que atingiram a meta pressórica e os que não atingiram, utilizando-se o teste qui-quadrado para avaliar a associação com o tipo de tratamento (p < 0,05). Observa-se que a distribuição dos valores iniciais de PAS na amostra era levemente assimétrica à direita.

Com base no cenário descrito e nos princípios bioestatísticos, é correto afirmar que

Sobre testes de hipóteses e inferência e estimação de parâmetros populacionais, assinale a opção correta.

Uma variável aleatória populacional tem média desconhecida µ e variância que pode ser suposta igual a 100.

O tamanho n da amostra aleatória simples necessário pra que possamos garantir, com ao menos 90% de confiança, que o valor da média amostral não se afastará do valor de µ por mais de 0,4 unidade é, no mínimo, igual a

Para testar H₀: µ ≤ 120 versus H₁: µ ≥120, sendo µ a média de uma distribuição normal com variância igual a 64, uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi obtida e revelou uma média amostral igual a 124.

O p-valor associado ao critério de teste adequado para o problema é, aproximadamente, igual a

Uma comissão de avaliação de políticas públicas analisa a continuidade de um programa de auxílio emergencial para uma população específica. A legislação vigente determina que o benefício deve ser descontinuado caso haja evidência estatística de que a renda média mensal da população beneficiada superou R$ 800,00, indicando uma recuperação econômica.

Para verificar tal condição, uma auditoria realizou um levantamento com uma amostra aleatória simples de 100 beneficiários, apurando uma renda média amostral de R$ 824,00. Sabe-se, por estudos demográficos prévios, que o desvio padrão populacional da renda é de R$ 120,00.

Considerando um nível de significância de 1% para o teste de hipótese unilateral à direita, e sabendo que o valor crítico da distribuição Normal Padrão para este nível é de aproximadamente 2,33, assinale a alternativa que apresenta a conclusão estatística correta e a recomendação coerente a ser dada pela auditoria à comissão.

Considere três variáveis aleatórias reais, 𝑋, 𝑌 e 𝑍, para as quais são conhecidos os seguintes momentos populacionais:

1. Variável aleatória 𝑋:

1. 1º Momento Ordinário igual a 5;
2. 2º Momento Ordinário igual a 1;
3. 3º Momento Central igual a 2.

2. Variável aleatória 𝑌:

1. 1º Momento Ordinário igual a 2;
2. 2º Momento Ordinário igual a 7;
3. 3º Momento Central igual a 0.

3. Variável aleatória 𝑍:

1. 1º Momento Ordinário igual a 3;
2. 2º Momento Ordinário igual a 9;
3. 1º Momento Central igual a 0.

Com base exclusivamente nessas informações, assinale a afirmativa correta.

Uma doença afeta uma certa porcentagem desconhecida de uma população local. Um teste rápido tem probabilidade de 90% de dar positivo caso o paciente esteja doente (verdadeiro positivo), e 30% de dar positivo, caso o paciente esteja saudável (falso positivo).

Com base em uma amostra aleatória de tamanho relevante da população foi constatado que a probabilidade de um paciente que apresentou teste rápido positivo estar realmente doente é de 50%.

A porcentagem da população local afetada pela doença é de

Seja X₁, X₂, ..., X_n uma amostra aleatória de uma variável aleatória X com distribuição normal de média θ e variância conhecida igual a 10. Seja $\overline{X}=\frac{{\sum }_{}^{}{x}_i}{n}$a média amostral. Qual das expressões a seguir pode ser usada para construir um intervalo de confiança para θ, com base em uma distribuição conhecida?

Um engenheiro ambiental está analisando a concentração média de partículas em suspensão (PM2.5) no ar de uma zona industrial. A legislação permite no máximo 35𝜇𝑔/𝑚³ como valor médio. A partir de medições diárias realizadas durante 49 dias consecutivos, obteve-se uma média amostral de 37𝜇𝑔/𝑚³, com desvio padrão populacional conhecido de 5𝜇𝑔/𝑚³ . O engenheiro deseja testar, ao nível de significância de 1%, se há evidência estatística de que o valor médio excede o limite legal. Para isso, ele define as hipóteses:

𝐻₀: 𝜇 ≤ 35 𝑒 𝐻₁: 𝜇 > 35

Sabendo que o teste será unilateral à direita, e utilizando a distribuição normal padrão com valor crítico 𝑧0,01 = 2,33, pode-se concluir CORRETAMENTE que:

Assinale a opção que completa corretamente as lacunas da sentença abaixo.

Ο ________________, também conhecido como risco do consumidor, é a probabilidade de _________de um lote de um processo cuja proporção de defeituosos é _____________ a P₀.

Durante uma operação, o tempo médio para a montagem de uma barraca de campanha é de 15 minutos. Um Oficial deseja testar essa informação e acredita que o tempo real é superior ao informado. Ele coleta uma amostra de 36 montagens com média amostral de 15,8 minutos. Sabe-se que o desvio padrão populacional é de 2,4 minutos. Considerando a Distribuição Normal adequada para o teste e admitindo o nivel de significância de 5%, assinale a opção correta.

Um novo elevador precisa ser instalado em um prédio. Sabe-se que O peso dos usuários segue uma distribuição normal com média de 65 kg e variância de 49 kg². Para garantir a segurança, deseja-se que a carga máxima especificada para o elevador seja ultrapassada em apenas 2,5% das viagens. Então o peso máximo, por pessoa, para atender a especificação, corresponde a

Se as variâncias populacionais forem hipoteticamente distintas, a estimativa da variância da diferença entre as médias amostrais será igual a um valor entre 50.000 kg² /ha² e 60.000 kg² /ha².

Analistas do Ministério das Cidades estão estudando o tempo médio de deslocamento casa-trabalho em uma metrópole brasileira. A população é composta por 40 mil trabalhadores formais e, segundo estudos anteriores, o tempo de deslocamento segue uma distribuição aproximadamente normal, com média μ=60 minutos e desvio padrão populacional σ=20 minutos.

Três diferentes amostras aleatórias simples foram selecionadas com o objetivo de estimar a média de deslocamento da população:

• amostra 1: 25 pessoas

• amostra 2: 100 pessoas

• amostra 3: 400 pessoas

Considerando que o objetivo é estimar se a probabilidade de que a média amostral difira da média populacional por, no máximo, 2 minutos (ou seja, esteja no intervalo entre 58 e 62 minutos), os analistas devem considerar que:

Supondo que $T_n$ seja o estimador de máxima verossimilhança de $\tau$, que a população pertença à família exponencial e que o tamanho da amostra $n$ seja suficientemente grande, então a quantidade pivotal $\frac{T_n-\tau }{D}$ segue aproximadamente a distribuição normal padrão.

Durante uma análise estatística, foram coletadas amostras aleatórias de duas populações diferentes. Assim, considerando os seguintes aspectos sobre a análise dessas amostras, avalie as proposições:

I.Quando a população é heterogênea a amostra estratificada é ineficaz.

II.A variabilidade entre amostras é representada pela diferença entre a média amostral e a média populacional, conhecida como erro padrão.

III.O erro de amostragem se refere à diferença entre a média amostral e a média populacional e pode ser reduzido aumentando o tamanho da amostra.

Assinale a alternativa correta:

S_n converge em probabilidade para o valor da média populacional.

Nas afirmações a seguir, marque (V) para as VERDADEIRAS e (F) para as FALSAS.

( ) Na distribuição t de Student, a função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete uma menor variabilidade (com curvas menos alargadas), que é de se esperar em amostras pequenas.

( ) Cada número de graus de liberdade dá origem a uma distribuição t diferente. A distribuição t-Student aproxima-se da normal quando se diminui o número de graus de liberdade.

( ) A distribuição t é frequentemente utilizada na inferência estatística para análise da variância. Assim como na distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes distribuições t.

Marque a opção que apresenta a sequência CORRETA.

Uma hipótese alternativa de um teste para a média populacional poderia ser escrita como H₁: $\overline{x}$ ≤ 1,5.

Considere os dados sobre amostras de duas populações apresentados na tabela abaixo.

Com base nessas informações, teste a alegação de que as duas agências têm a mesma taxa média de resposta e assinale a opção correta.