Questões de Concurso sobre Processos de Poisson

Em um posto de atendimento presencial a contribuintes, há três filas. As variáveis aleatórias X, Y e Z, que representam os números de atendimentos por minuto nessas filas, seguem distribuições de Poisson com médias, respectivamente, iguais a 1, 2 e 3.

Nessa situação hipotética, se as filas funcionam de forma independente e simultânea e se T=X+Y+Z corresponde ao total de atendimentos por minuto no posto, então P(T = 0) é igual a

O número de pedidos que chegam ao sistema de um aplicativo de comida segue uma distribuição de Poisson com média de 3 pedidos por minuto. A probabilidade de o aplicativo receber exatamente 2 pedidos em um intervalo de 2 minutos é:

Um centro de monitoramento registra o número de panes em servidores de dados por hora. As ocorrências são raras, independentes e acontecem em intervalos fixos de tempo, caracterizando um processo de Poisson. Em relação à modelagem e propriedades da distribuição de Poisson e suas relações com outras distribuições, julgue os itens a seguir:

I. Se o número médio de panes por hora é 𝜆 = 3, a probabilidade de exatamente 5 panes em uma hora é dada por 𝑃(𝑋 = 5) = $\frac{e^{-3}{3}^5}{5!}.$ Além disso, para um processo de Poisson, a média e a variância são iguais.

II. A distribuição de Poisson pode ser obtida como limite da distribuição Binomial quando 𝑛 → ∞, 𝑝 → 0 e 𝑛𝑝 = 𝜆 (constante). Essa aproximação é tanto melhor quanto maior for 𝑛 e menor for 𝑝.

III. Em um processo de Poisson homogêneo, o tempo entre ocorrências consecutivas segue uma distribuição Exponencial com média 1/𝜆, e a soma de 𝑘 tempos entre ocorrências independentes segue uma distribuição Gama (Erlang) com parâmetros 𝑘 e 𝜆.

IV. Se o número de panes por hora segue Poisson(𝜆), então a transformação 𝑌 = √𝑋 (transformação estabilizadora de variância) tem variância aproximadamente constante igual a 1/4, independentemente de 𝜆, para 𝜆 grande.

V. O estimador de máxima verossimilhança de 𝜆 para uma amostra de 𝑛 horas independentes é a média amostral 𝑋ˉ, e esse estimador é não viesado, consistente e eficiente, atingindo a cota inferior de Cramér-Rao para grandes amostras.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

𝑆 − 𝑋 segue uma distribuição de Poisson.

Caso se pretenda prever quantos sinistros ocorrerão no próximo ano com base nos dados já observados, a distribuição preditiva correspondente será uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à estimativa da taxa média.

Em determinada companhia, o número diário de atendimentos de emergência (Y), condicionado a determinada taxa M=m, segue uma distribuição de Poisson na forma apresentada a seguir, em que y ∈ {0,1,2,3, …}, m > 0 e M segue uma distribuição exponencial com média igual a 1.

$P(Y=y|M=m)=\frac{e⁻ᵐ\cdot mʸ}{y!}$

Considerando essa situação hipotética, assinale a opção em que é corretamente apresentada a distribuição marginal Y.

A quantidade diária X de processos gerados por um setor de determinada secretaria da fazenda segue uma distribuição de Poisson com taxa igual a 10 processos por dia. Diariamente, 20% dos processos são gerados por pessoas físicas e 80%, por pessoas jurídicas, independentemente do total de processos gerados no dia.

Tendo como base a situação proposta e considerando que Y denote a quantidade de processos diários gerados por pessoas físicas, assinale a opção correta.

Sabe-se que em média duas pessoas são atendidas por hora em uma repartição pública. Considere que o número de pessoas (X) atendidas nessa repartição obedece a uma distribuição de Poisson.

Dados:

e^-1 -= 0,37. e^-2 = 0,14. e^-3 = 0,05 e e^-4 = 0,02, sendo e a base do logaritmo neperiano

(ln) tal que ln(e)= 1.

Verificando que nenhuma pessoa foi atendida em uma determinada hora e considerando nos cálculos os dados apresentados, a probabilidade de que na hora seguinte seja atendida pelo menos uma pessoa é Igual a

Uma indústria de hardware de computador testará os vícios de um novo chip. Esses vícios se referem a esquentamento ou curto que, embora sejam raros, podem comprometer o funcionamento de computadores novos por completo. A distribuição do número de chips fabricados, por semana, que apresenta esses vícios, é uma distribuição de Poisson com 𝜆 = 5. Logo, a probabilidade de que mais de um chip apresente um vício por semana é de, aproximadamente:

Num processo homogêneo de Poisson 𝑁(𝑡) com parâmetro 𝜆, 𝜆 > 0, são propriedades do número de ocorrências em um intervalo de comprimento 𝛥𝑡:

O número de denúncias a um órgão em um certo período segue distribuição de Poisson, cujo parâmetro é desconhecido. Nas últimas 5 horas, chegaram ao órgão as seguintes quantidades de reclamações/hora: 3, 2, 1, 1 e 3.

Com base nesses dados, e considerando-os como observações de uma amostra aleatória simples, a estimativa de máxima verossimilhança para a probabilidade de que, nas próximas 2 horas, cheguem à agência ao menos 2 denúncias é:

Qual das alternativas abaixo representa apenas opções de processos estocásticos?

Qual das alternativas abaixo pode ser considerado um processo de Markov em tempo contínuo?

O número de chamadas telefônicas, X, que chegam à Central de Atendimento de uma equipe do Corpo de Bombeiros, em determinado período de tempo, solicitando auxílio segue a distribuição de Poisson com parâmetro 𝛉 = 2. Então, é correto afirmar que a probabilidade de ocorrer pelo menos 2 chamadas no período, a média 𝛍 e o desvio-padrão 𝛔 da variável aleatória X são, respectivamente:

Seja {N(t), t ∈ [0,∞)} um processo de Poisson com taxa λ = 0,5. A probabilidade de que não ocorra nenhuma chegada no intervalo (3,5] é, aproximadamente, igual a:

(Dados: e ^–0,25 ≈ 0,78; e^–0,5 ≈ 0,61; e^–1 ≈ 0,37; e^–2 ≈ 0,14.)

O processo de chegada de clientes em uma loja de conveniência pode ser modelado como um Processo de Poisson com média m. Seja T a variável aleatória que modela o tempo de espera entre a chegada de dois clientes e seja v_T a variância de T.

A probabilidade de T exceder v_T é:

O número de reclamações trabalhistas diárias (X) registradas em um determinado ramo de atividade obedece a uma distribuição de Poisson com uma média de λ reclamações por dia. Dado que P(X = x) é a probabilidade de ocorrerem x reclamações em um dia e que P(X = 2) = 2[P(X = 1) – P(X = 0)], então P(X 1) é igual a

Considere um modelo de fila com dois atendentes e uma posição de espera operando em condições de estados estáveis. Suponha que se um cliente chega e encontra os dois atendentes ocupados e a posição de espera desocupada, então o cliente aguardará o tempo necessário para o atendimento. Se o cliente encontra os dois atendentes ocupados e a posição de espera também ocupada, ele parte imediatamente.

Os clientes acessam o sistema segundo um processo de Poisson com taxa de 2 clientes por hora e que o atendimento segue uma distribuição exponencial com média 1 hora.

A proporção de clientes que chegam ao sistema e não serão atendidos é

A entrada de clientes em uma loja segue um processo de Poisson homogêneo com intensidade λ por hora. Considerando que, em um determinado dia, chegaram 15 clientes em um período de 8 horas, qual é a probabilidade de que tenham chegado exatamente 5 clientes nas primeiras 4 horas?

Considere que as pessoas chegam a um caixa eletrônico segundo um processo de Poisson com intensidade λ = 6 por hora e são atendidas em um sistema de fila única por ordem de chegada. Os tempos gastos no caixa se comportam como variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, exponencial com média 0,1 horas. Sabendo que há apenas um único caixa eletrônico atendendo os clientes, qual o número médio de pessoas no sistema?