Questões de Concurso sobre Teorema Central do Limite

O teorema central do limite estabelece que $\frac{S_n-2}{\sqrt{n}}$ converge em distribuição para a distribuição normal padrão, à medida que 𝑛 tende para o infinito.

Considere uma amostra aleatória simples X₁,X₂,X₃, ..., X_n, extraída de uma população com média 20 e desvio padrão 5, bem como a seguinte soma ponderada.

$S_n={\sum }_{k=1}^n(0,2{)}^k{X}_k$

Com base nessas informações, assinale a opção correta.

À medida que $n\to +\infty ,$ $M_3$ converge em distribuição para uma distribuição normal.

À medida que $n\to +\infty ,$ se $a=-1/2,$ $\sqrt{M_2}$ converge em probabilidade para 1.

Considerando o Teorema Central do Limite (TCL), é correto afirmar que:

lim_n→∞ E[S_n] = 1.

Magda é auxiliar administrativa em uma repartição pública e trabalha no setor de processos. As variáveis aleatórias que representam os tempos utilizados por Magda para cadastrar os processos no sistema da instituição são independentes e possuem a mesma distribuição, com valor esperado e variância dados por 20 minutos e 16 minutos², respectivamente. Se o teorema central do limite for utilizado, qual a probabilidade aproximada de que Magda utilize, no máximo, 450 minutos para cadastrar 25 processos?

(Observação: 𝜱(𝒛) = 𝑷(𝒁 ≤ 𝒛), onde 𝒁~𝑵(𝟎, 𝟏).)

Se a variância das $X_i$ for não limitada, então, a lei fraca, a lei forte e o teorema central do limite não serão aplicáveis a $M_n$ .

O Teorema Central do Limite se refere a qual tipo de convergência?

O teorema do limite central, que é uma das ideias mais poderosas e úteis em todas as estatísticas. Existem duas formas alternativas do teorema, e ambas as alternativas se preocupam em extrair amostras finitas de tamanho n de uma população com uma média conhecida μ, e um desvio padrão conhecido σ. De acordo com o teorema do limite central é correto afirmar:

I. Dadas certas condições, a média aritmética de um número suficientemente grande de iterações de variáveis aleatórias independentes, cada uma com um valor esperado bem definido e uma variância bem definida, será distribuída aproximadamente normalmente.

II. O teorema do limite central não pode ser usado para ilustrar a lei dos grandes números.

III. O teorema do limite central nos diz que, para uma população com qualquer distribuição, a distribuição das somas das médias da amostra se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta. Em outras palavras, se o tamanho da amostra for grande o suficiente, a distribuição das somas pode ser aproximada por uma distribuição normal, mesmo que a população original não esteja normalmente distribuída.

Assinale a alternativa correta.

Determinado contador recebeu uma demanda com 50 contas para serem auditadas. Sabe-se que os tempos gastos para que ele faça a auditoria em cada conta são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média de 20 minutos e variância de 16 minutos². Ao utilizar o teorema do limite central, qual a probabilidade aproximada de que sejam gastos menos de 450 minutos para auditar 25 contas?

Observação: Φ (z) = P (Z ≤ z), onde Z ~ N (0,1).

Sabe-se que o tempo médio de espera em uma fila de um determinado supermercado é de 5 minutos, com um desvio padrão também de 5 minutos. Utilizando o teorema central do limite, calcule o número mínimo de clientes que precisam ser atendidos para garantir que o tempo médio de espera esteja entre 4 e 6 minutos, com uma probabilidade de pelo menos 0,95. Use a aproximação P(X≤2) ≈ 0,975 para X Normal (0,1).

O coeficiente de assimetria da distribuição da média amostral, aproximadamente, considerando o Teorema Central do Limite, quando o tamanho da amostra cresce, é igual a:

No que diz respeito à Teoria Central do Limite e a Lei dos Grandes Números, julgue se as afirmações abaixo são verdadeiras:

I. Se uma variável aleatória X puder ser representada pela soma de quaisquer n variáveis aleatórias independentes, que satisfaçam certas condições gerais, então esta soma, para n suficientemente grande, terá distribuição aproximadamente normal.

II. O Teorema Central do Limite estabelece que a distribuição da soma (ou média) de um grande número de variáveis aleatórias independentes, e identicamente distribuídas, será aproximadamente normal, independentemente da distribuição subjacente (dessas variáveis).

III. Uma consequência do Teorema Central do Limite é a aproximação de cálculos de probabilidade da Binomial pela distribuição Bernoulli.

Marque a opção CORRETA.

A razão $\frac{S_n}{n}$ converge em probabilidade para 2 à medida que $n\to \infty$.

Marque a alternativa que não condiz com os conceitos sobre o teorema central do limite:

Na teoria de probabilidade, o teorema responsável por estabelecer que a distribuição da soma (ou média) de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas será, aproximadamente, normal, independentemente da distribuição subjacente dessas denomina-se:

Seja x um número real, calcule o limite ${\lim }_{x\to -1}\frac{4x^3+x^2+3}{x^5+1}$ e assinale a opção correta.

Numa dada população, 50% das pessoas são do sexo feminino. Usando o teorema central do limite, se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 1.225 dessa população for observada, a probabilidade de que, na amostra, a porcentagem de pessoas do sexo feminino seja menor do que 0,46 ou maior do que 0,54 é aproximadamente igual a

Se $Y_n={\sum }_{k=1}^{n}0,5^k{X}_k$, então, mediante a aplicação do teorema central do limite, é correto concluir que $Y_n$ $\begin{array}{c}D\\ \to \end{array}$ Normal.