Questões de Concurso sobre Teorema Central do Limite

Numa dada população, 50% das pessoas são do sexo feminino. Usando o teorema central do limite, se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 1.225 dessa população for observada, a probabilidade de que, na amostra, a porcentagem de pessoas do sexo feminino seja menor do que 0,46 ou maior do que 0,54 é aproximadamente igual a

Se $Y_n={\sum }_{k=1}^{n}0,5^k{X}_k$, então, mediante a aplicação do teorema central do limite, é correto concluir que $Y_n$ $\begin{array}{c}D\\ \to \end{array}$ Normal.

Para qualquer amostra suficientemente grande, a distribuição das médias amostrais será uma distribuição aproximadamente normal. Essa afirmação é um dos principais resultados de toda a Estatística, conhecido como:

Com base no teorema do limite central, é correto concluir que a variável padronizada

$\frac{S_n-E\left[S_n\right]}{\sqrt{Var}\left[S_n\right]}$

converge em distribuição para uma distribuição normal padrão quando n → + ∞.

Com base no teorema central do limite, se $E\left[S_n\right]$ e $Var\left[S_n\right]$ representam, respectivamente, a média e a variância de $S_n$, então ${\frac{S_n-E\left[S_n\right]}{\sqrt{Var\left[S_n\right]}}}^{{}^D}\to N$ (0,1) à medida que $n$ $\to$ + ∞.

Um estatístico necessita construir uma Carta (gráfico) de Controle P para monitorar a fração de multas aplicadas equivocadamente pelos fiscais de certa atividade. Assim, tomou amostras de tamanho n = 90 registros em cada um de 25 dias de trabalho e verificou quantas eram equivocadas, d_i, obtendo, em cada dia, a fração diária de

${\hat{p}}_i$ = $\frac{d_i}{90}$

A seguir, ele estimou a fração de multas equivocadas para o período, obtendo:

$\hat{p}=\frac{1}{25}{\sum }_{i=1}^{25}{\hat{p}}_i=0,15$

Então, a linha central LC e os limites de controle inferior, LIC, e superior, LSC, da Carta P a três desvios padrões são:$\hat{p}$

Analise a tabela a seguir com as médias e medianas das notas de três turmas (A, B e C) em um teste padronizado.

Com base nos resultados da tabela, assinale a alternativa correta.

Supondo amostra aleatória simples, usando o teorema central do limite e considerando, ainda, o pior caso, o tamanho da amostra para que possamos garantir, com 99% de confiança, que o valor de uma proporção amostral não diferirá do valor da proporção populacional por mais de 2% é, no mínimo, aproximadamente igual a

Uma indústria de aparelhos de ar condicionado venceu um pregão para o fornecimento de 400 aparelhos de ar condicionados ao governo. Um dos requisitos para a compra dos aparelhos era que o nível médio de ruído produzido pelas unidades não fosse maior que 85db. Para testar se os aparelhos fornecidos pela empresa satisfazem esta condição, 50 aparelhos foram selecionados aleatoriamente do lote e o nível de ruído produzido pelos aparelhos foi medido. Após o levantamento dos dados, foi conduzido o teste de hipótese apropriado resultando p-valor de 0,037. Analise as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta.

I. O teste conduzido tem hipóteses 𝐻₀ : 𝜇 ≤ 85 vs 𝐻₁ : 𝜇 > 85, onde 𝜇 denota a verdadeira média do ruído produzido pelos aparelhos.

II. Como o tamanho amostral é 50, podemos utilizar o teorema central do limite para conduzir o teste, de forma que não precisamos assumir que o nível produzido por cada aparelho segue uma distribuição normal.

III. Nas condições do problema, como o desvio padrão populacional é desconhecido, utilizamos o desvio padrão amostral na estatística de teste, que neste caso tem distribuição t de student com 49 graus de liberdade.

Sabe-se que 8 amostras de tamanho n = 3 são retiradas de um processo em intervalos regulares de tempo. Medindo-se a característica de qualidade, normalmente distribuída, foram encontrados os valores de $\bar{X}$ = 982,4 e $\bar{R}$ = 12,7. Calcule o Limite Superior Natural (LSN) do processo e assinale a opção correta.

Se $\mu$ e $\sigma$ representam, respectivamente, a média e o desvio padrão da variável aleatória $Y$ , então o Teorema Central do Limite estabelece que a quantidade

$Z=\frac{Y-\mu }{\sigma /\sqrt{5}}$

segue a distribuição normal padrão.

Sabendo-se que o processo está sob controle e que seu desvio padrão é desconhecido e que foi estimado através de 80 , baseado nos desvios padrões amostrais das 40 amostras de tamanho 4 (m = 40 e n = 4), calcule o Limite Superior de Controle (LSC) de· 3$\sigma$ para o gráfico de controle do desvio padrão S e assinale a opção que apresenta o correto valor aproximado.

Dado: $\hat{\sigma }$₀ = 14,848

Analise as afirmativas a seguir, sobre estimação pontual e intervalar:

I. Chama-se Erro Quadrático Médio (EQM) o valor EQM=E(T-β)² , que, por sua vez, pode ser escrito como EQM=V(T)+Viés(T), sendo V a variância e T um estimador para β.

II. Conforme os conceitos da inferência clássica e fazendo uso do Teorema Central do Limite, a média amostral de uma população com média µ e variância σ converge para uma distribuição N[µ,$\frac{\sigma 2}{n}$]. Daí que um Intervalo de Confiança (IC) de 95% para µ pode ser dado por [ $\bar{X}$ - 1,96 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ < µ < $\bar{X}$ + 1,96 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ ]. Pode-se afirmar, então, que a probabilidade de que a variável aleatória µ esteja entre os limites descritos é de 95%.

III. Seja uma população exponencial (α) descrita por f(x|α)= α exp(-αx), para x>0, α>0 e 0 caso contrário. Logo, o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para α é a média amostral $\bar{X}$.

É CORRETO o que se afirma em

Na situação amostral em tela, mediante aplicação do teorema do limite central, para que a quantidade $\sqrt{n}\left({\overline{X}}_n-\mu \right)$ convirja para uma distribuição normal com média zero e desvio padrão σ, será necessária a retirada de uma amostra suficientemente grande.

Considere as seguintes afirmações:

I. as distribuições de Bernoulli e Binomial apresentam as mesmas características e, portanto, os mesmos parâmetros;

II. repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo Binomial;

III. o Teorema do Limite Central garante que, para n suficientemente grande, a distribuição de Bernoulli pode ser aproximada pela distribuição de Poisson.

Pode-se afirmar que

Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 100, representada por X₁, X₂, ... X₁₀₀, foi retirada de uma população Bernoulli. Considerando que S = X₁ + X₂ + ... + X₁₀₀ e que a média populacional seja igual a 0,1, assinale a opção correta, de acordo com a aproximação proporcionada pelo teorema limite central.

O Conceito Preliminar de Curso (CPC) é um indicador de qualidade que avalia os cursos de graduação. Seu cálculo e divulgação ocorrem no ano seguinte ao da realização do Enade, com base na avaliação de desempenho de estudantes, no valor agregado pelo processo formativo e em insumos referentes às condições de oferta – corpo docente, infraestrutura e recursos didático-pedagógicos. Ele é composto por 8 (oito) componentes e sua composição é dada pela expressão abaixo.

NCPCi = 0,2NCi + 0,35NIDDi + 0,075NMi + 0,15NDi + 0,075NRi +0,075NOi + 0,05NFi + 0,025NAi

em que NCPCi é a Nota contínua do Conceito Preliminar de Curso do curso de graduação i; NCi é a Nota dos Concluintes no Enade do curso de graduação i; NIDDi é a Nota do Indicador da Diferença entre os Desempenhos Observado e Esperado do curso de graduação i; NMi é a Nota de Proporção de Mestres do curso de graduação i; NDi é a Nota de Proporção de Doutores do curso de graduação i; NRi é a Nota de Regime de Trabalho do curso de graduação i; NOi é a Nota referente à organização didático-pedagógica do curso de graduação i; NFi é a Nota referente à infraestrutura e instalações físicas do curso de graduação; e NAi é a Nota referente às oportunidades de ampliação da formação acadêmica e profissional do curso de graduação i. Montando-se um histograma com os CPC’s dos cursos de todo o país, nota-se acentuada similaridade com a distribuição normal, e este fator deve-se à(ao)

Uma equipe de suporte técnico com objetivo de melhorar e otimizar um sistema de matrícula online, está monitorando o tempo gasto pelos alunos na efetivação de sua matrícula. A equipe identificou que a média do tempo e a distribuição de probabilidade ainda são desconhecidas. No entanto, a variância é aproximadamente 25 minutos e uma amostra de 400 matrículas resultou em uma média de 16 minutos. Nestes termos, utilizando-se do Teorema do Limite Central o intervalo de confiança aproximado com 92% de significância para a média do tempo de conexões, será de: (Use Z=1,75).

No período de 81 dias úteis, foram coletadas informações sobre o fluxo de conciliações em um Tribunal Regional do Trabalho. Considere que diariamente são realizados, em média, 64 acordos de conciliação no Tribunal segundo uma distribuição de Poisson. Usando o Teorema Central do Limite, pode-se considerar que a média diária da amostra de 81 dias terá uma distribuição aproximadamente normal. Considere, abaixo, a tabela referente à distribuição normal padrão, Z:

Com base nessa aproximação e os dados fornecidos, a probabilidade de que a média amostral da amostra de 81 dias seja superior a 66 conciliações é, em %, igual a

Para testar a hipótese nula H₀ de que a proporção populacional de pessoas acometidas por certa doença virótica não é maior do que 10% contra a hipótese alternativa de que ela é maior do que 10%, uma amostra aleatória simples de tamanho 256 foi observada e revelou que, dessas 256 pessoas, 32 estavam acometidas pela referida doença.

Usando a proporção de acometidos na amostra como estatística de teste e apoiado no teorema do limite central, o p-valor aproximado associado a esses dados e a respectiva decisão a ser tomada ao nível de significância de 5%, são