Questões de Concurso sobre Intersecção de uma reta a uma circunferência

Os valores de x para que a função y = 2𝑥 intersecione o círculo de raio 2 centrado na origem do plano cartesiano são:

Qual a área interna no quadrante x e y positivos formado pelas retas: x = y; x = 0 e pela circunferência x²+ y²=9? Considere π=3.

Os valores da A para que a reta 𝑦 = 𝑎 − 𝑥 interseccione a circunferência 𝑥² + 𝑦² = 4 em apenas um único ponto são:

Considerando a reta 𝑟: 𝑦 = $\frac{1}{2}$ 𝑥 + 1, a reta 𝑠 – que é perpendicular à 𝑟 e passa pelo ponto (−2,0) – e 𝑐: a circunferência centrada na origem de raio 2, é correto afirmar que todas as interseções possíveis totalizam, no plano cartesiano para esses casos, um total de:

Considere a reta 𝒓 com equação 𝟐𝒙 + 𝒚− 𝟑 = 𝟎 e a circunferência 𝒄 com equação (𝒙 −𝟓)^𝟐 + (𝒚 − 𝟑)^𝟐 = 𝟐𝟓 . Sejam agora 𝑷_𝟏(𝒙_𝟏, 𝒚_𝟏) e 𝑷_𝟐(𝒙_𝟐, 𝒚_𝟐) pontos de intersecção entre 𝒓 e 𝒄. Qual a média aritmética entre os valores de 𝒙_𝟏, 𝒙_𝟐, 𝒙_𝟑 e 𝒙_𝟒?

Sobre o estudo de uma circunferência, assinale a alternativa incorreta:

A reta de equação 3x + 4y - 13 = 0 determina sobre a circunferência (x - 1)² + y² = 36 uma corda de comprimento igual a:

O ponto da circunferência x² + y² = 4 mais próximo da reta r: y = x + 4 é o ponto de coordenadas P(−2,0).

Qual é a posição da reta r: 3x + y – 19 = 0 em relação à circunferência β: (x – 2)² + (y – 3)² = 10?

Dada uma circunferência e um ponto A fora dela, traçamos o segmento $\overline{AD}$ = 12 cm, sendo este segmento tangente à circunferência no ponto B. Ainda pelo ponto A traçamos os segmentos $\overline{AD}$ e $\overline{AG}$, ambos secantes em relação à circunferência. Tem-se que a interseção do segmento $\overline{AD}$ com a circunferência são os pontos C e D, com $\overline{AC}$ < $\overline{AD}$ . Sabendo que o ponto E é a interseção entre os segmentos $\overline{DF}$ e $\overline{CG}$; $\overline{AC}$ = y + 7, $\overline{CD}$ = y + 5, $\overline{DE}$ = 6 cm, $\overline{EF}$ = y, $\overline{EC}$= x - 1, $\overline{EG}$ = x, todos em centímetros, e o ângulo $A\hat{G}C$ mede 45^o , podemos concluir que o seno do ângulo $D\hat{A}G$mede:

A equação da circunferência ∅ cujo centro se encontra sobre a reta dada por r:3x +7y + 2 = 0 e passa pelos pontos A(6,2) e B(8,0) é:

A equação geral da reta que passa pelo centro da circunferência descrita por (𝑥 − 5) ² + (𝑦 − 3) ² = 16 e corta o eixo x em -6 é:

Seja a curva determinada pelo lugar geométrico dos centros das circunferências no ℝ² , que tangenciam a reta x ⇌ 2 e passam pelo ponto (6, 4). Sendo assim, a reta tangente a essa curva pelo ponto (6, 8) possui equação:

As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente

Ao trabalhar com a representação geométrica de equações em uma turma do Ensino Médio, por meio do software GeoGebra, um professor propôs a seguinte tarefa:

...

1) Construa a circunferência cuja equação normal é λ : x² + y² − 2x − 4y + 4 = 0

2) Construa as retas s : 3x + 4y + 4 = 0 e t : 2x + 6y = 4

3) Em seguida encontre a posição entre a circunferência λ e as retas s e t.

...

No decorrer das construções no GeoGebra, o professor escolheu duas imagens (antes da finalização da tarefa) com o intuito de problematizar as resoluções dos alunos. Essas discussões foram realizadas ao final da aula, no processo de sistematização da atividade. A seguir apresentamos as imagens escolhidas pelo professor:

Imagem 1: Exemplo de representação da circunferência

Imagem 2: Exemplo de representação das retas s e t

Considerando as escolhas do professor e os resultados corretos das atividades propostas, é correto afirmar que:

A equação da reta que contém os centros das circunferências x² + y² – 4x – 8y + 19 = 0 e x² + y² + 4y = 0 é dada por:

Qual o comprimento da corda determinada pela reta x y = 0 sobre a circunferência x² + y² + 6x -6y -18 = 0 ?

Considere uma reta r, de equação x + y = k, sendo k uma constante real, e uma circunferência $\lambda$, de equação x² + y² = 4, ambas representadas em um mesmo sistema de coordenadas retangulares.

O menor valor real do parâmetro k, que faz a reta r intersectar a circunferência $\lambda$ em apenas um ponto, é igual a

O número máximo possível de pontos de interseção entre uma reta e uma cônica é

Uma circunferência 𝐶₁ localizada no primeiro quadrante, tangencia os pontos (0,3) e (3,0).

Já a circunferência 𝐶₂ localizada no terceiro quadrante, tangencia os pontos (0, −6) e (−6,0). O valor da razão entre a área de 𝐶₁ e a área de 𝐶₂ é igual a: