Questões de Concurso sobre Testes de Hipóteses para a Média

Para testar H₀: µ ≥ 40 versus H₁: ɥ < 40, em que µ é a média de uma variável populacional, uma amostra aleatória simples de tamanho n = 625 foi obtida e apresentou os seguintes dados:

$\begin{array}{rl}\bar{x}& =38,8\\ \sum _{i=1}^{625}(x_i-\bar{x}{)}^2& =9.984\end{array}$

Nesse caso, o critério de decisão mais indicado rejeitará H₀, ao nível de significância de 5%,se

Ao realizar um teste de hipóteses para a média de uma população com amostras pequenas (n < 30) e desvio padrão populacional desconhecido, a distribuição t de Student é a mais apropriada para construir o intervalo de confiança ou calcular o valor p. Em relação à teoria da distribuição t e sua aplicação, julgue os itens a seguir:

I. A estatística de teste 𝑡 = $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$ segue exatamente uma distribuição t de Student com 𝑛 − 1 graus de liberdade se a população for normal. Se a população não for normal, mas for simétrica e com curtose moderada, o teste t ainda é razoavelmente robusto para amostras pequenas.

II. A distribuição t de Student tem caudas mais pesadas que a distribuição Normal padrão, mas à medida que os graus de liberdade aumentam, a t se aproxima da Normal. Para 𝑛 ≥ 30, a diferença é geralmente considerada desprezível na prática.

III. O intervalo de confiança para a média usando a distribuição t é dado por $\bar{X}\pm t_{\alpha /2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$. Se, erroneamente, usássemos o quantil da Normal (𝑧𝛼/2) no lugar do t, o intervalo seria mais estreito, aumentando a probabilidade de não conter o verdadeiro parâmetro (cobertura abaixo do nominal).

IV. Para testar a média de uma população com amostra pequena e desvio padrão desconhecido, a distribuição Qui-quadrado (𝜒² ) seria apropriada se o interesse fosse na variância, não na média. Já a distribuição F é usada para comparação de duas variâncias ou em ANOVA.

V. A estatística t de Student para uma amostra pode ser derivada como razão entre uma Normal padrão e a raiz quadrada de uma Qui-quadrado dividida por seus graus de liberdade, assumindo independência. Essa relação justifica o nome “t” e a forma da densidade.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

A diferença entre a média de idade da população-alvo (35 anos) e a média amostral (45 anos) representa um erro amostral.

Um estudo clínico visa determinar a eficácia de uma intervenção dietética. Para cada sujeito da pesquisa, o peso corporal foi registrado antes do início da dieta e após um período determinado de sua aplicação.

Considerando que as duas amostras de peso (inicial e final) são coletadas dos mesmos indivíduos, assinale a opção que apresenta o teste de hipótese mais adequado para avaliar se houve uma diferença estatisticamente significativa na média de peso.

Deseja-se testar as hipóteses:

H0: µ = 50,

H1: µ > 50,

O tamanho da amostra é n = 25, a variância é σ² = 100 e o nível de significância é 5%. Dado que o valor de µ = 53, quanto valerá o erro tipo II (β)?

Obs.: O valor de Z crítico correspondente é: Z0,05 ≈ 1,645.

Se o intervalo de 95% de confiança para a média populacional for, aproximadamente, 12 $\pm$ 9,6, e se o nível de significância do teste de hipóteses em questão for de 2,5%, então a hipótese nula do teste em questão deve ser rejeitada, uma vez que $\overline{y}$ = 12 > 9,6.

A estatística do teste $t$ de Student para as hipóteses H₀:$\beta$₁ = 0 versus H₁:$\beta$₁ $\ne$ 0 é superior a 10.

Um Auditor deseja comparar se a média de gastos per capita com educação, nos Municípios da região Oeste de Santa Catarina, é significativamente diferente da média da região Serrana. Ele sabe que a suposição de que tais gastos seguem uma distribuição normal é válida.

O método estatístico mais adequado, para comparar as médias dessas duas amostras independentes, é o

Um determinado pesquisador deseja testar a hipótese nula sobre a média, de uma amostra de tamanho n, igual a $\mu$₀ e ao nível de significância $a$. Ele sabe que para testar essa hipótese ele deve seguir os passos descritos abaixo, dos quais estão fora de ordem:

i) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à região crítica, não rejeite a hipótese nula (H₀); caso contrário, rejeite H₀.

ii) Fixe a probabilidade $a$ de cometer o erro de tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão).

iii) Fixe qual a hipótese H₀ a ser testada e qual a hipótese alternativa H_A.

iv) Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste.

v) Use a teoria estatística e as informações disponiveis para decidir qual estatistica será usada para testar a hipótese nula H₀.

Qual sequência mostra os procedimentos corretos que este pesquisador deve seguir para fazer o teste de hipótese desejado?

A nota de Gael foi igual a 7.

Apenas os estimadores T₂ e T₃ são consistentes para µ.

Supondo que o nível descritivo do teste seja, aproximadamente, igual a 0,008, a hipótese nula (H₀) é rejeitada, o que leva à conclusão de que, estatisticamente, $\mu$ = 12.

À medida que o valor verdadeiro da média populacional $\mu$ se afasta de zero no sentido positivo, o poder do teste de hipóteses em questão aumenta.

Um teste de hipóteses bicaudal foi realizado para verificar se a média de vendas diárias de um produto (𝜇) é diferente de R$ 1.000. As hipóteses são 𝐻₀: 𝜇 = 1000 e 𝐻₁: 𝜇 ≠ 1000. O valor 𝑝 calculado foi de 0,035, e o nível de significância adotado foi 𝛼 = 0,05. Em relação à interpretação e aos conceitos associados a esse resultado, julgue os itens a seguir:

I. A conclusão correta é rejeitar 𝐻₀ ao nível de 5%, pois 𝑝 = 0,035 < 0,05. Isso significa que a probabilidade de se obter um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo 𝐻₀ verdadeira, é de apenas 3,5%.

II. Rejeitar 𝐻₀ nesse contexto implica que a probabilidade de cometer um erro tipo I (rejeitar 𝐻₀ quando ela é verdadeira) é exatamente igual ao valor 𝑝 (3,5%), independentemente do 𝛼 escolhido a priori.

III. Se o nível de significância fosse 1% (𝛼 = 0,01), a conclusão seria diferente: não rejeitaríamos 𝐻₀, pois 𝑝 = 0,035 > 0,01. Isso mostra que a conclusão do teste depende da escolha de 𝛼 antes da análise.

IV. O valor 𝑝 de 0,035 indica que a probabilidade de 𝐻₀ ser verdadeira é de 3,5%. Essa é uma interpretação incorreta, mas comumente encontrada em práticas não estatísticas.

V. Para um teste bicaudal, o valor 𝑝 é definido como 2 × 𝑃(𝑇 ≥∣ 𝑡_obs ∣∣ 𝐻₀) quando a distribuição do teste é simétrica. Se o teste fosse unilateral à direita com a mesma estatística, o valor 𝑝 seria metade (0,0175), e com 𝛼 = 0,05 também levaria à rejeição de 𝐻₀.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

A fim de se efetuar o teste de hipóteses para certa média populacional especificado como H₀:$\mu$ + 10 versus H₁:$\mu$ > 10, tomou-se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 16 de uma população normal. A média amostral foi igual a 11 e o desvio padrão amostral, igual a 2.

A partir dessa situação hipotética, assinale a opção correta.

Como as hipóteses estão satisfeitas, decidiu-se utilizar o teste T de Student para a comparação dos tempos médios nos dois tratamentos. Para o cálculo da estatística utiliza-se $s_p^2$ como a variância dos dados. Qual é a expressão numérica que fornece o valor de $s_p^2$?

O valor esperado de Y é igual a 2.

O setor de manutenção de uma Organização Militar afirma que a vida útil média de um determinado material é de 5.000 horas. O Estatístico desconfia dessa estimativa e decide realizar um teste de hipóteses com base em uma amostra. Analise as afirmativas abaixo.

I- A hipótese de que a vida útil média seja exatamente 5.000 horas representa a hipótese nula.

II- A hipótese de que a vida útil seja de diferente de 5.000 horas representa a hipótese alternativa.

III- Rejeitar a hipótese nula quando é verdadeira é cometer um erro do tipo I.

IV- Não Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira é cometer um erro do tipo II.

Assinale a opção correta.

Um analista de qualidade deseja verificar se o tempo médio necessário para embalar um produto em uma linha de produção é menor que 12 minutos, conforme o padrão estabelecido pela empresa. Foi coletada uma amostra de 25 observações dos tempos de embalagem, obtendo-se uma média amostral de 11,6 minutos e desvio padrão amostral de 1,0 minuto. Assumindo que o tempo de embalagem siga uma distribuição aproximadamente normal, e considerando um nível de significância de 5%, teste a hipótese de que o tempo médio é igual a 12 minutos contra a alternativa de que é menor que 12 minutos. Considere o valor crítico da distribuição t de Student para 24 graus de liberdade no nível de 5% como –1,71. Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.

E[X] > E[Y].