Questões de Concurso sobre Matrizes de um sistema linear

A representação de sistemas dinâmicos por modelo de espaço de estados estabelece um significado físico-conceitual às características matemáticas das matrizes de estado que compõem tal modelo. Nesse diapasão, ressalta-se os autovalores e autovetores da matriz de estados, os quais estão intimamente ligados a caracterização da dinâmica desse sistema.

Considere que um sistema dinâmico possui uma matriz de estado 𝐽, a qual é descrita a seguir:

Sabe-se ainda que esta matriz possui um autovetor 𝑣 , onde 𝑣 = [0 −1 0 1 0].

Nessas condições, um dos autovalores da matriz 𝐽 é

Considere um sistema dinâmico, linear e invariante no tempo, de condições iniciais nulas, o qual é submetido a uma entrada forçada. A resposta descrita pelos estados desse sistema depende de três aspectos: do sinal de entrada, da matriz de entrada e da matriz de transição de estados.

Considerando que 𝑠 é a variável de Laplace, 𝐼 é a matriz identidade e 𝐴 é a matriz de estados, a matriz de transição de estados Φ(s) desse sistema é

Em uma lanchonete A, 2 sucos, 3 salgados e 1 doce custam R$ 5,00. Na B, 5 sucos, 6 salgados e 2 doces custam R$ 8,00. Na C, 1 suco, 1 salgado e 2 doces custam R$ 3,00. E, por fim, na D, 4 sucos, 1 salgado e 3 doces custam R$ 7,00. Assinale a alternativa com a correta modelagem matricial desse problema.

Sejam A, B, C, D ∈ M_n($\mathbb{R}$). Considere o sistema linear

$\{\begin{array}{c}AX=B\\ DX+Y=C\end{array}$

nas variáveis X, Y ∈ M_n($\mathbb{R}$). Considere as afirmações:

I. Se det A = 0 ou det D = 0, então o sistema é impossível.

II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.

III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

Considere a transformação $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ definida por $T\left(x,y,z\right)=\left(-2y+z,-x+y\right)$ e analise as afirmações a seguir:

I - $T$ é uma transformação linear.

II - $T(v)=(0,0)$ se e só $v=(0,0,0)$.

III - $T$ pode ser definido pela matriz $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

IV - Se $A=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ $\in$ ${\mathbb{R}}^3$ é linearmente independente, então $T\left(v_1\right),T\left(v_2\right)$ e $T\left(v_3\right)$ $ϵ{\mathbb{R}}^2$ também são linearmente independentes.

V - O conjunto imagem de $T$ é um subespaço vetorial de ${\mathbb{R}}^2$ de dimensão 1.

Está correto apenas o que se afirma em

Considere o sistema de equações lineares: .

-

$\{\begin{array}{c}2x+y+3z=8\\ 4x+2x+2z=4\\ 2x+5y+3z=-12\end{array}$

-

Assim, é correto afirmar que

Se A é uma matriz quadrada e se o sistema linear Ax = 0 tem infinitas soluções, então o sistema linear não-homogêneo Ax = b, com b $\ne$ 0, terá infinitas soluções.

O problema de transformar uma equação do tipo 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦² = 1, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ^∗, numa equação do tipo 𝛼(𝑥′)² + 𝛽(𝑦′)² = 1, com 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ^∗, pode ser resolvido usando uma matriz apropriada que apresenta algumas características específicas. Entre as matrizes apresentadas a seguir, a única que pode ser usada para a resolução desse tipo de problema é:

As técnicas de resolução de sistemas lineares podem ser aplicadas para ajuste de curvas, e podem ser escritas na forma algébrica AX = b. A forma algébrica abaixo é válida para a determinação dos coeficientes 𝑎₀ 𝑒 𝑎₁ da função de aproximação linear 𝑓(𝑥) = 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ , que levam ao melhor ajuste dos 𝑛 pontos do conjunto de dados.

$\left[\begin{array}{cc}n& {\sum }_{i=1}^n{x}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\end{array}\right]$ .$\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^n{y}_i\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\end{array}\right]$

Considere os valores funcionais na tabela:

A função de aproximação linear calculada com os valores funcionais da tabela é:

Um produto identificado por 1 ∗ 5 ∗ 1& -1 ∗ 3 ∗ 2 não é proveniente dessa distribuidora.

O sistema linear é representado pela matriz A, o vetor B e o vetor da solução X, na forma AX = B, onde:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c}14\\ 11\\ 13\end{array}\right]$

Representa, respectivamente, os valores do vetor X da solução do sistema:

Se Ax=b for um sistema linear em que a matriz A é quadrada e tem duas linhas iguais, então esse sistema terá infinitas soluções.

Determine os valores de a e b para que o sistema $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& a\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ b\end{array}\right)$ seja impossível.

Dada a matriz $A=\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 0\\ -1& 1& -1& 1\\ 2& 0& -2& 2\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right]$, é correto afirmar que a soma dos seus autovalores é igual a:

Para a matriz A= $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$ tem-se que det(A) = −1 e, consequentemente, A é uma matriz inversível.

A seguir tem-se um sistema de equações dado por:

2x + 3y – z = 11

-x + 2y + z = 3

5x – y – kz = 12

Sabe-se que Dx = 4D, em que D é o determinante da matriz incompleta do sistema de equações e Dx é o determinante da matriz obtida através da troca, na matriz incompleta, dos coeficientes de x pelos termos independentes. Determine o valor de K e assinale a alternativa correta:

Numa lanchonete foram vendidos, num certo dia, copos de suco da seguinte forma:

• período da manhã: 8 copos grandes, 8 copos médios e 4 copos pequenos, totalizando R$ 54,00;

• período da tarde: 16 copos grandes, 8 copos médios e 4 copos pequenos, totalizando R$ 82,00; e,

• período da noite: 12 copos grandes, 4 copos médios e 8 copos pequenos, totalizando R$ 64,00.

A diferença de preço entre um copo grande e um copo pequeno de suco é de:

Considere o sistema de equações lineares dado por:

Dado o sistema a seguir, é correto afirmar que