Questões de Concurso sobre Análise dos Componentes Principais

Ao aplicar a técnica estatística de Análise de Componentes Principais (PCA) para a redução de dimensionalidade de um conjunto de dados multivariados, o analista transforma as variáveis originais em um novo sistema de coordenadas. As novas variáveis resultantes desse procedimento, denominadas componentes principais, apresentam a seguinte propriedade matemática fundamental:

Um órgão de controle da administração pública federal dispõe de um banco de dados com 12 indicadores socioeconômicos (PIB per capita, IDH, desigualdade de renda, taxa de analfabetismo, mortalidade infantil, etc.) coletados para 550 municípios. O objetivo é reduzir a dimensionalidade dos dados para construir um índice sintético de desenvolvimento municipal que preserve o máximo possível da variância original, sem utilizar uma variável resposta predefinida. O estatístico do órgão decide aplicar a Análise de Componentes Principais (PCA) com base na matriz de correlações (variáveis padronizadas). Após a análise, os autovalores obtidos foram: λ₁ = 4,2; λ₂ = 2,1; λ₃ = 1,8; λ₄ = 1,2; λ₅ = 0,9; os demais somam 1,8.

Com base nesses resultados e nos fundamentos da PCA, assinale a alternativa CORRETA:

Conjuntamente, as duas primeiras componentes principais explicam 75% da variância total.

Em um conjunto de dados contendo várias variáveis quantitativas correlacionadas, deseja-se reduzir a dimensionalidade sem perder grande parte da variabilidade original. Nesse contexto, aplica-se a Análise de Componentes Principais (ACP). Sobre essa técnica, assinale a alternativa correta.

O primeiro autovetor associado ao maior autovalor define a direção da primeira componente principal (CP1), e suas coordenadas indicam as combinações lineares das variáveis originais que maximizam a variância total dos dados.

Com base na regra de Kaiser (ou critério de Kaiser), é correto afirmar que apenas o primeiro componente principal deveria ser retido na ACP.

O desvio padrão da terceira componente principal é igual a 2.

O percentual da variação explicada pelas três primeiras componentes principais é superior a 80%.

Segundo Lorena Vicini (2005): “É uma técnica que possibilita a identificação das medidas responsáveis pelas maiores variações entre os resultados, sem perdas significativas de informações. Além disso, transforma um conjunto original de variáveis em outro conjunto de variáveis ortogonais. Essa transformação, em outro conjunto de variáveis, ocorre com a menor perda de informação possível. Essa redução de variáveis só será possível se as variáveis iniciais não forem independentes e possuírem coeficientes de correlação não-nulos” (Adaptado de VICINI, Lorena. Análise multivariada da teoria à prática. Universidade Federal de Santa Maria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Santa Maria, 2005). De acordo com o trecho, qual é a alternativa que melhor representa essa técnica?

Na análise de componentes principais, uma das etapas iniciais consiste no cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de covariância dos dados originais. Considere X um conjunto de dados com n observações e p variáveis, e C a matriz de covariância dos dados, em que C é uma matriz de posto completo. Sejam os autovalores (λ) e autovetores (v) de C. Nesse contexto, a única alternativa correta será:

PCA (principal component analysis) é uma técnica empregada para reduzir a dimensionalidade do conjunto de dados, reduzindo o número de valores usados para representar cada observação, mas sem reduzir o número de observações; ela pode ser usada, por exemplo, para reduzir o número de variáveis quantitativas usadas para caracterizar as imagens de cada paciente.

A Análise de Componentes Principais (PCA) é uma técnica de transformação de dados que tem como objetivo encontrar as direções de maior variação nos dados, geralmente representadas pelos chamados componentes principais, e gerar novas representações dos dados.

Assinale o objetivo principal dessa técnica.

A análise de componentes principais é utilizada para

Considere a matriz de variância e covariância a seguir, e que os dois maiores autovalores dessa matriz sejam autovalor₁ = 5,7 e autovalor₂ = 4,3.

$\sum =\left(\begin{array}{cccc}5& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& 1& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& 3& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& 5\end{array}\right)$

Considerando a análise de componentes principais, assinale a alternativa que traz a taxa de variação explicada por autovalor₁ e autovalor₂.

Se realizada uma Análise de Componentes Principais calculada por intermédio da decomposição espectral de uma matriz de covariância, é correto afirmar que:

Avalie se são vantagens da análise de componentes principais:

I. Retirar a multicolinearidade das variáveis pela transformação de um conjunto de variáveis originais intercorrelacionadas em um novo conjunto de variáveis não correlacionadas (componentes principais).

II. Reduzir muitas variáveis a eixos ortogonais que representam algumas variáveis, o que permite explicar a variação dos dados de forma decrescente e independente.

III. Apresentar pouca sensibilidade a outliers, notadamente quando há duplas ausências.

Está correto o que se afirma em

As afirmativas a seguir, acerca da análise de componentes principais (ACP) estão corretas, à exceção de uma. Assinale-a.

Em relação à Análise de Componentes Principais (ACP), avalie se as afirmativas a seguir são falsas (F) ou verdadeiras (V).

I. O objetivo principal da ACP é obter variáveis não correlacionadas que retenham a maior parte da estrutura de variabilidade e correlação, a partir das variáveis originais, por meio de transformações lineares para reduzir a dimensão, medida pelo número de variáveis, da matriz de dados.

II. A ACP possibilita a compreensão de aspectos do comportamento dos dados difíceis de serem deduzidos a partir das variáveis originais.

III. Em geral, a ACP permite que se usem metodologias de análise univariada.

As afirmativas são, respectivamente,

Considere um estudo realizado em que foi decidido aplicar a técnica de análise de componentes principais, e a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias $X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]$ é dada por $\sum =\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 2\end{array}\right]$ . Se Y₁ é a primeira componente principal de ${\sum }_{}^{}$ , então, a variância de Y₁ é igual a