Questões de Concurso sobre Covariância e Correlação

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com as seguintes informações sobre as variâncias:

(i) Var(X) = 4

(ii) Var(Y) = 9

(iii) Var(X+Y) = 9

Qual é o valor da covariância entre X e Y?

Suponha que a variável dependente Y seja categórica do tipo binário: pertencer à População 1 ou pertencer à População 2. Sabe-se que o vetor aleatório x = $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{X_1}{X_2}\right)$ tem distribuição normal bivariada com vetor de médias dado por

$\mu =$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right)$ e matriz de covariâncias dada por $\sum =\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_1^2\end{array}\right]$, sendo ${\sigma }_1^2$ > 𝟎 e ${\sigma }_2^2$ > 𝟎. Suponha, ainda, que pertencer à População 1 significa ter a distribuição de X₁ e que pertencer à População 2 significa ter a distribuição de X₂ . De posse de um novo elemento amostral x₀ que não se sabe a qual população pertence (População 1 ou População 2), pode-se usar a análise discriminante para sua classificação. Diante do exposto, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Com base no princípio da máxima verossimilhança, uma regra de classificação pode ser definida a partir da razão de verossimilhança entre as duas populações, a qual, neste caso, fica dada por: $\lambda (x_0)=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}exp$ $\left\{-\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{x_{0-}{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^{{}^2}-{\left(\frac{x_0-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^{{}^{{}^2}}\right]\right\}$.

( ) Com base no valor observado para a função discriminante dada pela razão de verossimilhança apropriada, denotada por 𝜆(x₀), deve-se classificar o elemento 𝑥₀ como pertencente à População 1 se 𝜆(x₀) > 0 e, caso contrário, como pertencente à População 2.

( ) Se, em vez de termos 𝐶𝑜𝑣(𝑋₁,𝑋₂ ) = 0, tivéssemos 𝐶𝑜𝑣(𝑋₁,𝑋₂ ) = 𝜎_12, com 𝜎₁₂ ≠ 0, então a função discriminante baseada na razão de verossimilhança irá depender de 𝜌, o parâmetro que representa a correlação linear entre as variáveis 𝑋₁ e 𝑋₂.

A sequência está correta em

Cinco alunos foram submetidos a uma avaliação nas disciplinas de Liderança e Formação Militar Naval e obtiveram as seguintes notas:

Calcule a covariância de X e Y e assinale a opção correta.

Na figura C, CoVar(x,y) = 0 e Var(x) = Var(y).

A covariância entre as variáveis X e Y é igual ou inferior a 0,95.

Suponha que x e y tenham a seguinte distribuição conjunta:

Sendo (x,y) uma variável aleatória bidimensional discreta, qual será a covariância entre x e y?

De um estudo envolvendo a técnica da análise de componentes principais, considere que $\sum =\left[\begin{array}{cc}7& -2\\ -2& 4\end{array}\right]$ seja a matriz de covariâncias do vetor de variáveis aleatórias $X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]$ . Se Y₁ corresponde à primeira componente principal de Σ, então a proporção da variância total de X, que é explicada por Y₁, é

Considerando os modelos de regressão linear, coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas afirmativas abaixo e assinale a opção correta.

( ) Se duas variáveis são correlacionadas, pode-se concluir que há uma relação de causalidade entre elas.

( ) Ao verificar que uma variável! dependente e uma independente estão estritamente relacionadas, pode-se concluir que o ajuste do modelo de regressão é bom.

( ) Os valores de y são preditos com base em valores dados ou conhecidos de x. À variável y é chamada variável independente, e a variável x variável dependente.

A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é dada por

O valor da covariância entre X e Y é igual a

Abaixo temos parte da imagem de uma tabela normal, como as que se encontram em livros clássicos de estatística. Nela são dados o resultado da integral da distribuição normal entre 0 e z0 = z/σ onde σ2 é a variância e z o valor contínuo que pode ser assumido pela variável aleatória Z que segue a distribuição.

Figura: Tabela Normal das integrais da distribuição normal P(Z) entre 0 e z0 (valor de Z normalizado pela média). Para a integral entre 0 e valor z0 = 1,58 se deve extrair o termo da linha 1,5 e coluna 8.

Considere uma variável aleatória Z que obedece a distribuição de probabilidade normal com média 3 e desvio padrão 2. Utilizando a tabela normal, assinale a alternativa que corretamente apresenta a probabilidade de em uma medida aleatória o resultado Z ser maior que 4.

Uma análise exploratória é o procedimento de se analisar previamente os dados para poder entender e saber quais possíveis técnicas poderão ser aplicadas. Para tal etapa é muito usual estatísticas descritivas. No que compete ao significado ou características dessas estatísticas, assinale a opção cuja afirmativa está correta.

Sabendo que X é uma variável aleatória, podendo assumir três possíveis valores com iguais probabilidades: -2, 0, 2. É conhecida a função de probabilidade de Y, uniforme discreta, como sendo: p_y/x(y/X=x). Esta função pode assumir os valores (x-2), x, (x+2) com iguais probabilidades. Marque o item abaixo que apresenta, respectivamente os seguintes valores: variância de X, variância de Y, correlação (valor aproximado) entre X e Y.

P(R $\le$ 5) = P(D $\le$ 4).

O saldo diário esperado é E(S) = 0,05.

Considerando as informações contidas na questão anterior n° 56, referente à análise de componentes principais, qual é a matriz de covariâncias do vetor de componentes principais?

Escolha a alternativa correta para a seguinte pergunta: Qual a medida que antecede o cálculo da correlação, que pode ser expressa como a diferença entre o valor esperado da multiplicação de duas variáveis e a multiplicação do valor médio de cada uma dessas variáveis?

Considere duas variáveis aleatórias X e Y. São dados: $E[X]=35,E[Y]=55,V[X]=3,V[Y]=18$ e $Cov[X,Y]=5$ , onde E [ ] indica a média, V [ ] a variância e Cov [ , ] a covariância. Assinale a opção que expressa a variância da soma X + Y.