Questões de Concurso sobre Distribuição Qui-Quadrado e Testes de Hipóteses

$\theta$ representa o parâmetro da distribuição ܺ$X$.

A partir das informações do texto 5A1, é correto afirmar que a variável aleatória V² segue uma distribuição

Uma variável aleatória 𝑋 segue uma distribuição Qui-quadrado (𝜒²) com 10 graus de liberdade. Em relação às propriedades da distribuição Qui-quadrado e suas aplicações, julgue os itens a seguir:

I. A média de 𝑋 é igual aos graus de liberdade (𝐸[𝑋] = 10), e a variância é igual a duas vezes os graus de liberdade (Var(𝑋) = 20).

II. A distribuição Qui-quadrado é simétrica em torno de sua média para qualquer número de graus de liberdade.

III. A variável 𝑋 pode ser representada como a soma de 10 variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição Normal padrão ao quadrado: $X={\sum }_{i=1}^{10}{Z}_i^2$

IV. A moda da distribuição 𝜒² com 𝜈 graus de liberdade ocorre em 𝜈 − 2 (para 𝜈 > 2). Assim, para 𝜈 = 10, a moda é 8, que é menor que a média (10), evidenciando assimetria positiva.

V. A distribuição Qui-quadrado é um caso particular da distribuição Gama, com parâmetros de forma $k=\frac{v}{2}$ e escala 𝜃 = 2. Portanto, suas propriedades podem ser derivadas da família Gama.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

O EMQ requer menos suposições sobre distribuições que o EMV para ser consistente.

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (m,n), com 0 < m < n. Uma outra variável aleatória Y, independente de X, tem distribuição qui-quadrado com 3 graus de liberdade. Se a esperança de X é igual a variância de Y e a variância de X é igual à esperança de Y, então (m, n) é igual a

A partir de uma amostra de 801 elementos de uma variável cuja distribuição é normal, obteve-se uma variância amostral cujo valor deverá ser testado (teste monocaudal). Entretanto, não se dispõe de uma tabela qui-quadrado, apenas de uma tabela normal.

Qual deverá ser, aproximadamente, o valor crítico do teste qui-quadrado, a 5% de significância?

(Para esta questão, considere que, se z tem distribuição normal padrão, então p(–2<z<2) ≅ 0,95 e p(–1,6<z<1,6) ≅ 0,90.)

Para se testar a independência entre dois atributos, dados amostrais serão organizados em uma tabela de contingência. O atributo A tem seis classes e o atributo B tem cinco.

Se a amostra é suficientemente grande, será usada então uma estatística de teste que tem, sob a hipótese de independência, distribuição:

Em determinada população, a distribuição das categorias A, B e C é dada pela seguinte tabela:

Para verificar se os dados de uma amostra são gerados a partir dessa distribuição, foi conduzido um teste qui-quadrado de aderência. Considere que as suposições para a realização desse teste estão satisfeitas. Dessa forma, a estatística de teste, sob a hipótese nula, possui uma distribuição qui-quadrado com quantos graus de liberdade?

A estatística qui-quadrado de Pearson, referente à tabela em questão, é igual ou superior a 7.

Para testar se dois atributos são independentes, 400 indivíduos foram observados e a seguinte tabela de contingências 2x2 foi obtida:

O valor da estatística qui-quadrado usual para esse teste é aproximadamente igual a

A medida denominada qui-quadrado, representada por x², define a discrepância existente entre as frequências observadas e esperadas.

Uma pesquisa realizada com 70 discentes de um curso de especialização EAD da FURG teve por objetivo analisar o perfil dos que buscam essa modalidade de ensino. Dentre as perguntas de interesse, os pesquisadores avaliaram a relação entre o tempo disponível para estudo e com quem os discentes preferem tirar suas dúvidas ao longo do curso. Os resultados foram:

Considerando que o valor calculado de 7,44 e escolhendo entre os valores críticos da distribuição qui-quadrado, ao nível de 5% de significânda, $X_{\left(2g.l.\right)}^2=5,99$ou $X_{\left(3g.l.\right)}^2=7,81$ ou $X_{\left(6g.l.\right)}^2=12,59$. Conclua sobre a relação entre o tempo de estudo e com quem prefere tirar dúvidas.

Deseja-se verificar a eficácia de certa vacina contra COVID-19 em relação à infecção pela doença. Para tal tomou-se uma amostra de 350 pessoas, classificadas conforme a tabela abaixo:

Ao nível de 5% de significância, é CORRETO afirmar que

Considerando que $Q_{20}$ e $Q_{15}$ representam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições qui-quadrado, respectivamente, com 20 e 15 graus de liberdade, assinale a opção correta no que se refere à diferença $D=Q_{20}-Q_{15}$

As variáveis aleatórias X1, X2, X3, X4 constituem uma amostra aleatória simples, retirada de uma distribuição normal com média igual a 10 e desvio padrão 2. Nesse caso, se $\overline{X}$ representa a média amostral, a variável aleatória $(\overline{X}-10{)}^2$ segue distribuição

Abaixo temos o gráfico quantil-quantil para distribuição normal onde estão desenhados os valores de duas amostras da distribuição Normal. A amostra 1, representada por círculos, e a amostra 2, representada por “x”.

Gráfico Q-Q - Dist. Normal

Com base no gráfico, é correto afirmar que as duas distribuições têm:

O teste qui-quadrado para diferenças de probabilidades busca medir quão distante a probabilidade de um evento observado na população dos participantes do plano está da probabilidade do mesmo evento observado na tabela de mortalidade adotada.

Seja {X₁, . . ., X_n} uma amostra aleatória simples da variável aleatória X~ N(µ, σ²), sendo µ e σ² desconhecidos. Para testar as hipóteses H₀ : σ² = 4 e H₁ : σ² > 4 pelo método da razão da verossimilhança generalizada, considerando nível de significância de 0,05 e {x₁, . . ., x_n} a amostra observada, a região de rejeição de H₀ pode ser escrita como:

Um experimento consiste em analisar 4 componentes, detectando o número de sucessos e o número de fracassos apresentados no experimento. A tabela a seguir refere-se ao resultado obtido com uma série de 80 experimentos realizados aleatoriamente.

Deseja-se testar, ao nível de significância de 5%, se o número de sucessos e o número de fracassos no experimento são igualmente prováveis por meio do teste qui-quadrado (χ² ), com base na tabela fornecida. Utilizou-se a distribuição binomial P(x = k) = $C_4^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\left(4-k\right)}$ para apurar o número de experimentos esperados em cada situação (k é o número de sucessos em cada experimento com 0 ≤ k ≤ 4). Então, o qui-quadrado observado $\left({\chi }_c^2\right)$ é igual a um valor

Dados: Quantis da distribuição qui-quadrado (χ² ) tal que a probabilidade $P\left({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2\right)=\alpha$ com n graus de liberdade.

$\begin{array}{ccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ x_{0,05}^2& 3,84& 5,99& 7,81& 9,49& 11,10& 12,60\end{array}$

Sobre dados multivariados, analise as afirmativas a seguir, empregando (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.

( ) O fato de demonstrar que todas as distribuições univariadas e bivariadas são normais não implica que o vetor tenha distribuição normal multivariada. Na prática, porém, quando isso ocorre, a chance de se estar com um vetor normal multivariado é muito grande.

( ) Uma forma de auxiliar na verificação de normalidade multivariada é utilizar uma medida de distância, baseada na distribuição de probabilidade qui-quadrado, que, por sua vez, utiliza o vetor de médias e a matriz de covariância amostral.

( ) Na análise de componentes principais, o objetivo é explicar a estrutura de variância e covariância de um vetor aleatório, construindo, a partir das variáveis originais, combinações lineares que sejam ao máximo correlacionadas entre si.

( ) Na análise de agrupamentos, que visa encontrar uma partição de n elementos em k grupos, os métodos hierárquicos e não hierárquicos diferem em alguns aspectos. No entanto, assemelham-se quanto à não necessidade de o usuário especificar previamente o número de clusters desejado.

A sequência CORRETA de afirmativas verdadeiras (V) e falsas (F), de cima para baixo, é: