Questões de Concurso sobre Distribuição Qui-Quadrado e Testes de Hipóteses

Um experimento consiste em analisar 4 componentes, detectando o número de sucessos e o número de fracassos apresentados no experimento. A tabela a seguir refere-se ao resultado obtido com uma série de 80 experimentos realizados aleatoriamente.

Deseja-se testar, ao nível de significância de 5%, se o número de sucessos e o número de fracassos no experimento são igualmente prováveis por meio do teste qui-quadrado (χ² ), com base na tabela fornecida. Utilizou-se a distribuição binomial P(x = k) = $C_4^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\left(4-k\right)}$ para apurar o número de experimentos esperados em cada situação (k é o número de sucessos em cada experimento com 0 ≤ k ≤ 4). Então, o qui-quadrado observado $\left({\chi }_c^2\right)$ é igual a um valor

Dados: Quantis da distribuição qui-quadrado (χ² ) tal que a probabilidade $P\left({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2\right)=\alpha$ com n graus de liberdade.

$\begin{array}{ccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ x_{0,05}^2& 3,84& 5,99& 7,81& 9,49& 11,10& 12,60\end{array}$

Sobre dados multivariados, analise as afirmativas a seguir, empregando (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.

( ) O fato de demonstrar que todas as distribuições univariadas e bivariadas são normais não implica que o vetor tenha distribuição normal multivariada. Na prática, porém, quando isso ocorre, a chance de se estar com um vetor normal multivariado é muito grande.

( ) Uma forma de auxiliar na verificação de normalidade multivariada é utilizar uma medida de distância, baseada na distribuição de probabilidade qui-quadrado, que, por sua vez, utiliza o vetor de médias e a matriz de covariância amostral.

( ) Na análise de componentes principais, o objetivo é explicar a estrutura de variância e covariância de um vetor aleatório, construindo, a partir das variáveis originais, combinações lineares que sejam ao máximo correlacionadas entre si.

( ) Na análise de agrupamentos, que visa encontrar uma partição de n elementos em k grupos, os métodos hierárquicos e não hierárquicos diferem em alguns aspectos. No entanto, assemelham-se quanto à não necessidade de o usuário especificar previamente o número de clusters desejado.

A sequência CORRETA de afirmativas verdadeiras (V) e falsas (F), de cima para baixo, é:

Analise as afirmativas a seguir, relacionadas aos estudos de tabelas de contingência r x s, representada por uma variável X (em linha) e uma variável Y (em coluna), ambas categóricas. X é descrita como o fator de exposição e Y, como o desfecho.

I. Enquanto medidas de efeito de um fator, os valores risco relativo e odds ratio se aproximam nas situações em que a doença tem uma baixa frequência na população, ou seja, quando a doença é rara.

II. Para fins de analisar uma tabela r x s, é possível atribuir escores às categorias de Y quando essa for ordinal, utilizando-se o teste qui-quadrado de Pearson.

III. Para o caso em que as subpopulações de X (as linhas) sejam grupos populacionais independentes e fixos, o teste qui-quadrado será chamado de teste de homogeneidade. Esse último se difere do teste de independência, no qual os totais das caselas vai se formando conforme a obtenção das respostas à amostra total “n”.

É CORRETO o que se afirma em

Considere uma amostra aleatória de tamanho 10 extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída. Se esta amostra apresentou uma variância igual a 55,77, tem-se que a amplitude do intervalo de confiança de 90%, considerando a distribuição de qui-quadrado por tratar-se de uma amostra pequena, para a variância da população é igual a:

Dados: Quantis da distribuição de qui-quadrado (χ2) tal que a probabilidade

$P\left(X^2>X_{\alpha }^2\right)=\alpha$, com n graus de liberdade.

Cogita-se a possibilidade de que decisões judiciais, favoráveis ou não, possam estar associadas à etnia do réu, refletida na sentença. Para testar a independência entre o resultado do julgamento e o grupo étnico do réu, uma amostra representativa foi extraída, com resultados conforme abaixo.

Estão disponíveis também as seguintes informações sobre a distribuição Qui-Quadrado:

$P(x_1^2<3,842)=P(x_2^2<5,993)=0,9500.$

Sobre a realização do teste, é correto afirmar que:

Uma pesquisa realizada com dois grupos de mulheres nos períodos pré e pós menopausa, com o objetivo de investigar se a quantidade de vitamina D se mostrava diferente nos 2 períodos, apresentou os seguintes resultados:

O teste aplicado foi o qui-quadrado e o p-valor obtido foi de 0,000213. O valor da contribuição da primeira célula da tabela para o cálculo da estatística do teste qui-quadrado e a conclusão do teste ao nível de significância de 5%, foram, respectivamente,

A distribuição quiquadrado

Seja Φ(.) a função de distribuição acumulada da normal padrão, Φ^-1(.) a respectiva função inversa e u_i, i=1,...,n, números aleatórios gerados a partir de uma distribuição uniforme (0,1). Uma alternativa para simular uma variável aleatória W, com distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade é

Suponha que a seguinte regressão seja estimada para homens e mulheres em separado:

W = a + b*(Educ) + u,

em que, w é o logaritmo neperiano do salário, Educ representa os anos de estudos, a e b são parâmetros do intercepto e da inclinação a serem estimados por mínimos quadrados ordinários e u é o termo aleatório.

Sendo ah e bh as estimativas dos parâmetros do intercepto e da inclinação, respectivamente, para o universo dos homens e, am e bm, as estimativas dos parâmetros do intercepto e da inclinação, respectivamente, para as mulheres. Para se verificar se os homens apresentam um retorno monetário da educação maior do que as mulheres deve-se testar a seguinte hipótese nula:

Considere-se que as variáveis aleatórias 𝑄₁ ,𝑄₂ e 𝑄₃ sejam independentes e que 𝑄₁ siga distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, 𝑄₂ siga distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade e 𝑄₃ siga distribuição qui-quadrado com três graus de liberdade. Com relação à soma 𝑊 = 𝑄₁ + 𝑄₂ + 𝑄₃ , assinale a alternativa correta.

A partir de uma amostra com 11 observações, conclui-se que:

Observe a tabela de contingências a seguir:

O valor da estatística qui-quadrado usual para se testar a independência entre os atributos A e B é igual a:

Seja uma amostra de tamanho n de uma população normal cuja média é conhecida, o teste, usado para testar a hipótese nula de que a variância é igual a um valor específico, , aplica para o cálculo do valor crítico a seguinte distribuição: