Questões de Concurso sobre Matrizes

A matriz A =$[$ $\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}$ $]$ , tem como matriz inversa a matriz:

Sejam x₁, ... , x₅ e y₁, ... , y₅ números reais arbitrários e A = (a_ij) uma matriz 5 × 5 definida por a_ij = x_i + y_j , 1 ≤ i; j ≤ 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é

Se M é uma matriz de 3ª ordem e tem seu determinante igual a 2, então o determinante de 3M vale:

Analise as quatro afirmações abaixo sobre uma matriz quadrada do tipo N x N:

I. O número de elementos fora da diagonal principal será N · (N -1).

II. Uma matriz N x N só pode ser multiplicada por uma outra matriz N x N.

III. O produto de uma matriz N x N por qualquer outra matriz sempre irá resultar em uma outra matriz quadrada.

IV. Toda matriz quadrada N x N é inversível.

Assinale a alternativa correta:

Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e det A o seu respectivo determinante. Sobre a matriz A foram realizadas as operações descritas a seguir, uma após a outra:

• Os elementos da primeira linha da matriz A foram multiplicados por 6;

• Os elementos da terceira coluna da matriz A foram divididos por 2;

• Os elementos da segunda coluna foram trocados com os respectivos elementos da quarta coluna da matriz A;

• Os elementos da terceira linha da matriz A foram somados aos valores obtidos, somando-se os respectivos elementos da segunda e da quarta linhas da mesma matriz A;

• Todos os elementos da matriz A foram multiplicados por – 1.

Após realizar todas essas operações, obteve-se uma nova matriz, tal que seu determinante será igual a

Sejam as matrizes A= e B= . A matriz A – B é igual a:

Seja a matriz A = $\left[\begin{array}{cc}-3& 4\\ -1& 4\end{array}\right]$, então os autovalores de A são iguais a

Para descrever um código que permite transformar uma palavra P de três letras em um vetor w ∈ ℜ³, inicialmente, escolhe-se uma matriz 3x3. Por exemplo, a nossa “matriz código” será:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 3& 3& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

A partir da correspondência:

A → 1 / B → 2 / C → 3 / D → 4 / E → 5 / F → 6 / G → 7 / H → 8 / I → 9 / J → 10 / L → 11 / M → 12 / N → 13 / O → 14 / P → 15 / Q → 16 / R → 17 / S → 18 / T → 19 / U → 20 / V → 21 / X → 22 / Z → 23

a palavra P é transformada em vetor v do ℜ³. Em seguida, o código da palavra P é obtido pela operação w = Av. Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor (12,1,17) = v, a qual é codificada com w = Av = (26,56,19).

Usando o processo acima para decodificar w = (64,107,29), teremos

Seja $A=(a_{ij}{)}_{4x7}$ em que

$a_{ij}$ $=\{\begin{array}{c}2i+j,sei>j\\ 13,sei=je,B=A^T\\ i²-j,sei<j\end{array}$

Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de $2b_{13}-3b_{63}+1$ .

A criptografia é uma das formas mais seguras de envio de mensagens secretas a um destinatário específico. Uma das maneiras de se criptografar uma mensagem é usar as propriedades das operações com matrizes. A ideia de um dos métodos é identificar cada letra do alfabeto com um determinado número e escrever a mensagem na forma de uma matriz. O remetente codifica essa matriz de mensagem usando uma matriz de codificação, enquanto o destinatário consegue ler a mensagem usando uma matriz de decodificação. Isso só é possível pois as matrizes de codificação e decodificação são inversas uma da outra. Ou seja D * C = C * D = I, onde C e D são as matrizes de codificação e decodificação, respectivamente, e I é a matriz identidade. Se o remetente codifica uma mensagem com a seguinte matriz de codificação C = $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$ qual é a matriz de decodificação D que o destinatário deverá usar para ler a mensagem?

Considere uma matriz A = (a_ij)_3x3 tal que det(A) = 2. Assinale a alternativa que apresenta o valor da expressão:

det(A^-1) + det(A^T) - det(2A)

Aqui, A^-1 e A^T representam, respectivamente, a matriz inversa e a matriz transposta de A.

Se A = $\left(\begin{array}{ccc}0& x& y\\ x& 0& 2\\ y& 2& 0\end{array}\right)$ e det A = 4$\sqrt{3}$, então x² y² é igual a