Questões de Concurso sobre Transformações Lineares

Seja $V$ o espaço vetorial dos polinômios $f$ de grau menor ou igual a 4, isto é, $f\left(x\right)=$ $\begin{array}{c}4\\ \sum \\ n=0\end{array}$ $f_n{x}^n$ , onde $f_n\in R^{}$.

Qual é a dimensão do espaço nulo da transformação linear dada por

$T:V\to R^3$

$f\mapsto \left(f\left(-1\right),f\left(0\right),f\left(1\right)\right)$ ?

Considere a transformação linear $f:R^2\to R^3$ , tal que$f\left(1,2\right)=\left(2,1,1\right)$ e $f\left(1,-1\right)=\left(-1,-2,1\right)$ . Qual é o vetor $v\in R^2$ tal que $f\left(v\right)=\left(7,4,3\right)$ ?

Todos os pontos $P(a,b)$ da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial $P=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$.

Ao aplicarmos uma transformação linear $A.P=Q$, geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma $Q=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{d}\right)$. Sendo $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -1\end{array}\right)$, assinale a opção que representa a figura formada pela transformação $A.P$ .

Dada a transformação linear F: P₂ ($\mathbb{R}$) $\to {\mathbb{R}}^4$, em que F(ax² + bx + c) = (–a – 3c, a + 3b, 2a + 6c, – b + c), é correto afirmar que ela

Sobre a transformação linear T: M (2,2) -> ℝ⁴ , dada por

T $\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\end{array}\right)$ = (a + c + d,c + b + d,b + c,b)

É CORRETO dizer que:

Sobre as transformações lineares, considere: V e U dois espaços vetoriais sobre K (K = ℝ ou K = ℂ) e uma transformação linear F:V $\to$ U. Analise as seguintes asserções

I - Um isomorfismo de V sobre U é uma transformação linear bijetora de V sobre U;

II F é singular, se existe v e V sendo v ≠ 0 mas F(v) = 0;

III O posto de F, (p(F)), é definido como sendo a dimensão de sua imagem;

IV- U m operador linear sobre V é uma transformação linear de V em V;

V - Se U = V e dim(V) <+ ∞,temos que : F é inversível $\iff$ F é singular $\iff$ F é sobrejetora

Acerca dessas asserções, assinale a afirmativa CORRETA:

Seja a variável aleatória bidimensional (X,Y) que tem distribuição uniforme no quadrado 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e Zero fora dele. Por uma transformação linear é definida a v.a. bidimensional (Z,W) da seguinte maneira:

Z = X + Y e W = X – Y

Então, sobre essa outra variável bidimensional, é correto afirmar que:

Analise as afirmativas abaixo.

I- Seja V um espaço vetorial com produto interno. Se $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{v}$ $\in$ , $V$ existe pelo menos um vetor $\overrightarrow{v}$ $V$$\in$ V que faz com que <$\overrightarrow{w}$ , $\overrightarrow{m}$ > $\ne$ 0, em que $\overrightarrow{w}$ = |$\overrightarrow{u}$|$\overrightarrow{v}$ + |$\overrightarrow{v}$|$\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{m}$ =|$\overrightarrow{u}$|$\overrightarrow{v}$ - |$\overrightarrow{v}$ |$\overrightarrow{u}$ .

lI- O núcleo de toda transformação linear T: R^S $\to$ R³ tem dimensão maior ou igual a 3.

III- Se a transformação linear T: R^m $\to$ Rⁿ é injetiva então a dimensão da imagem de T é igual a m.

IV- Se $\lambda$ é um autovalor do operador invertível K, então $\lambda$ ^-1é um autovalor de K^-1

Assinale a opção correta.

Seja 𝑇: ℝ³ → ℝ³ uma transformação linear dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 2𝑦 , 𝑧 , 𝑥 + 𝑦). Admitindo a existência de uma 𝑇^-1, onde 𝑇^-1 é uma inversa de 𝑇, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de 𝑇^-1(2,0,1).

Considere a transformação linear T: R³ no R⁴ , tal que denotamos a dimensão por Dim, a imagem por lm e o núcleo por Ker. Se lm(T) = [(5,3,2,3),(14,9,8,9)), sobre a transformação T, é correto afirmar que

A transformação linear $T:$ $\mathbb{R}$³ → $\mathbb{R}$³,

T (x,y z)=(y+ A z, X+Ay, X-2y + z)

é injetora, então é correto afirmar que:

Dentre as sentenças abaixo, a única falsa é:

Relacione as matrizes abaixo com seus respectivos significados quanto às transformações lineares no espaço.

Coluna 1 Matriz

1 . $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

2 . $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

3 . $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

4 .$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

5 . $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

6 . $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Coluna 2 Operador

( ) Matriz de transformação de reflexão no espaço em relação ao plano xOy.

( ) Matriz de transformação de projeção no espaço sobre o plano xOz.

( ) Matriz de transformação de reflexão no espaço em relação ao eixo y.

( ) Matriz de transformação de reflexão no espaço em relação ao plano xOz.

( ) Matriz de transformação de reflexão no espaço em relação ao eixo x.

( ) Matriz de transformação de reflexão na origem no espaço.

Assinale a alternativa que indica a sequência correta, de cima para baixo.

Seja T : ${\mathbb{R}}^3$ → ${\mathbb{R}}^3$ a transformação linear definida por

T(x,y,z) = (5x - 6y - 6z, -x + 4y + 2z , 3x - 6y - 4z).

A transformação linear T possui dois autovalores, $\lambda$₁ e $\lambda$₂. Sabe-se que $\overrightarrow{u}$ = (3, -1,3) é um autovetor associado a $\lambda$₁ e que $\overrightarrow{v}$ = (2,1,0) e $\overrightarrow{w}$ = (2,0,1) são autovetores associados a $\lambda$₂.

Considere a base $\beta$ = {$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$} e A_3x3 = [T]${}_{\beta }$ a matriz associada a T, relativamente à base $\beta$.

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz A_3x3 é

O núcleo da transformação linear $T\left(x,y,z\right)=\left(x+y-z,x-y-z,\alpha x+y+z\right),\left(x,y,z\right)\in R^3$, tem dimensão 1. Sendo assim, pode-se afirmar que a é igual a:

Transformações são funções definidas em espaços vetoriais. Transformações que satisfazem determinadas propriedades são chamadas de transformações lineares.

Qual das transformações a seguir NÃO é uma transformação linear?

Seja T:R³ → R³ a transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+2y + 3z, -x+2y-z, 3x + 2y+z). Pode-se afirmar, sobre T, que

As matrizes P × T e T × P são, ambas, quadradas e inversíveis.