Questões de Concurso sobre Transformações Lineares

Uma membrana elástica no plano xOy tem sofrido uma deformação de modo que cada par (x, y) sobre ela tem sido mapeado em um novo ponto T(x, y) = (w, s) de acordo com a transformação T(x, y) = (5x + 4y, 5y + x).

Com base na situação apresentada, assinale a opção que apresenta as direções principais dessa deformação e os correspondentes fatores de contração e(ou) de extensão.

Dentre as transformações de R³: G(x, y, z) = (y - x, z, 2024), S(x, y, z) = (0, 2024 + x, z), F(x, y, z) = (|y|, z, x + y) e R(x, y, z) = (0, -2024z, x + y), a transformação linear é a

É importante o aluno conhecer sobre os tipos de transformações geométricas. Tais transformações permitem ao aluno criar, através de uma figura geométrica, novas figuras, figuras com uma rotação diferente ou uma reflexão. Tal conceito pode ser utilizado, por exemplo, na área de design e arquitetura.

Considere a transformação linear T(p(t)) = p’’(t) – p’(t), dada pela derivada de segunda ordem menos a de primeira ordem de p(t) em relação à variável t, no espaço vetorial P₃(R) do polinômios p(t) de grau no máximo 3, de coeficientes reais. Temos que o Núcleo é um subespaço vetorial, denotado por KerT, então o núcleo pode ser gerado por

Seja 𝐹: ℝ⁴ → ℝ³ a transformação linear definida por:

𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡, −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡,3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑡)

Considere as seguintes afirmações sobre a Imagem (Im) e o Núcleo (Nuc) de F:

I. dim(Im F) = 2 e dim(Nuc F) = 3

II. Uma base do núcleo de F é $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{6},1\right)$

III. dim(Im F) = 2 e dim(Nuc F) = 2

IV. Uma base da imagem F é (1,-1,3),(0,3,-3)

V. dim(Im F) = 3 e dim(Nuc F) = 1

Podemos dizer que:

Fonte: LIPCHUTZ, S. Lipschutz, S.; Lipson, M. Álgebra Linear - Coleção Schaum. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

Seja $T:\mathbb{R}²\to \mathbb{R}$ uma transformação linear tal que

$T$(2,2) = 3 e $T$(3,2) = 1.

O valor de $T$(1, 0) é:

Seja F: ℝ² → ℝ³ uma transformação linear tal que F(1,1) = (1,1,3) e F(0,–1) = (2,0,4). Sobre esta transformação linear, é correto afirmar que

Considere a transformação $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ definida por $T\left(x,y,z\right)=\left(-2y+z,-x+y\right)$ e analise as afirmações a seguir:

I - $T$ é uma transformação linear.

II - $T(v)=(0,0)$ se e só $v=(0,0,0)$.

III - $T$ pode ser definido pela matriz $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

IV - Se $A=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ $\in$ ${\mathbb{R}}^3$ é linearmente independente, então $T\left(v_1\right),T\left(v_2\right)$ e $T\left(v_3\right)$ $ϵ{\mathbb{R}}^2$ também são linearmente independentes.

V - O conjunto imagem de $T$ é um subespaço vetorial de ${\mathbb{R}}^2$ de dimensão 1.

Está correto apenas o que se afirma em

Considere a transformação linear 𝑇: ℝ³ → ℝ³, definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑧, 𝑥 − 𝑦, −𝑧). Qual das alternativas abaixo é correta?

Considere as funções abaixo:

1. T : $\mathbb{R}$² → $\mathbb{R}$², T(x,y) = (2x – y, y – 2x).

2. T : $\mathbb{R}$³ → $\mathbb{R}$², T(x,y,z) = (xy, xz).

3. T : $\mathbb{R}$² → $\mathbb{R}$³, T(x,y) = (x, y, x + y).

São transformações lineares:

Considere os vetores 𝑣₁ = 𝑒^−2𝑡, 𝑣₂ = 𝑒^−𝑡, 𝑣₃ = 𝑒^𝑡, 𝑣₄ = 𝑒^2𝑡, 𝑤₁ = 𝑠𝑒𝑛(−2𝑡), 𝑤₂ = 𝑐𝑜𝑠(−𝑡), 𝑤₃ = 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑤₄ = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Considere ainda os espaços 𝑉 e 𝑊, gerados pelos vetores 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ e 𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄, respectivamente, isto é, 𝑉 = ⟨𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ ⟩ e 𝑊 = ⟨𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄ ⟩. Defina a transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, dada por 𝑇(𝑥𝑒^−2𝑡 + 𝑦𝑒^−𝑡 + 𝑧𝑒^𝑡 + 𝑤𝑒^2𝑡 ) = [𝑥 + 𝑦]𝑠𝑒𝑛(−2𝑡) + [𝑦 + 𝑧]𝑐𝑜𝑠(−𝑡) + [𝑧 + 𝑤]𝑐𝑜𝑠(𝑡) + [𝑤 − 𝑥]𝑠𝑒𝑛(2𝑡).

Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é:

Considere a transformação linear $T:\mathbb{R}³\to \mathbb{R}³$ cuja expressão é $T(x,y,z)=(3x-y-3z,2y-3z,-z).$ E correto afirmar que

Se $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)e$ $T:R^{3^{}}\to R^{3^{}}$ é transformação linear que satisfaz $T(e_1)=u_1,T(e_2)=u_2,T(e_3)=u_3,$ então $T(u_1)=u_2.$

Considere as afirmações a seguir.

I. Todo espaço vetorial é um anel, mas nem todo anel é um espaço vetorial.

II. Seja 𝐹 o espaço vetorial de todas as funções reais, com domínio real, contínuas sobre o corpo ℝ. Seja 𝐴 ⊂ 𝐹, o subespaço gerado pelas funções 𝑓, 𝑔, 𝑟, dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑒^−𝑥, 𝑟(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥), isto é, 𝐴 = ⟨𝑒^𝑥, 𝑒^−𝑥 , 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)⟩. Como a dimensão de 𝐴 é finita, podemos estabelecer um isomorfismo entre 𝐴 e ℝ³.

III. Seja 𝑇: ℝ⁴ → ℝ³ uma transformação linear, tal que 𝑁(𝑇) = ⟨(0,0,0,1)⟩, isto é, o núcleo de 𝑇 é o espaço vetorial gerado pelo vetor (0,0,0,1). Defina em ℝ4 a relação ∼, dada por: 𝑢 ∼ 𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣 ∈ 𝑁(𝑇). Assim, podemos dizer que $\frac{R^4}{\sim }=$ {$\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}$}.

IV. Dada uma coleção infinita de subespaços de um espaço 𝑉, é sempre possível achar um subespaço na interseção dos subespaços dessa coleção.

V. Dados 𝐴, 𝐵, subespaços de um espaço vetorial 𝑉, o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐 ∈ 𝑉: 𝑐 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑐 ∈ 𝐵} não é um subespaço de 𝑉.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Considere a transformação linear $T:\mathbb{R}³\to \mathbb{R}³$ dada por $T(x,y,z)=(4x+y+z,5y+z,6z)$. Seja, ainda, o conjunto M formado por todos os números reais que são autovalores de T. Então, conclui-se que M

Em cada um dos itens a seguir, a figura que está no plano cartesiano à direita é imagem da figura que está no plano cartesiano à esquerda, por uma aplicação.

I.

II.

III.

IV.

V.

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Dadas as bases $\beta \left\{\left(1,1\right),\left(0,1\right)\right\}$ de ℝ² e $\delta$ = − {(0,3,0), (-1,0,0), (0,1,1)} de ℝ³, assinale a alternativa que apresenta a transformação linear 𝑇: ℝ² → ℝ³ cuja matriz é [T ]^δ _β=$\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 0\\ -1& 3\end{array}\right]$

Seja 𝑻: ℝ^𝟐 ⟶ ℝ^𝟑 uma transformação linear, tal que 𝑻(𝟎, 𝟏) = (𝟒, 𝟎, 𝟏) e 𝑻(𝟏, 𝟎) = (𝟏, 𝟑, 𝟐). Então 𝑻(−𝟏,−𝟐) é dado por

Seja 𝐼(𝑇) o conjunto imagem da transformação linear 𝑇: ℝ³ ⟶ ℝ³, dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧, 2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧, 5𝑥 + 9𝑦 + 18𝑧). Uma base para 𝐼(𝑇) é apresentada na alternativa

Seja $V$ o espaço vetorial dos polinômios $f$ de grau menor ou igual a 4, isto é, $f\left(x\right)=$ $\begin{array}{c}4\\ \sum \\ n=0\end{array}$ $f_n{x}^n$ , onde $f_n\in R^{}$.

Qual é a dimensão do espaço nulo da transformação linear dada por

$T:V\to R^3$

$f\mapsto \left(f\left(-1\right),f\left(0\right),f\left(1\right)\right)$ ?