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Questões de Concurso sobre Exponencial
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Um pesquisador deseja verificar se a pontuação obtida em um determinado jogo pode ser modelada por uma distribuição exponencial com média igual a 5. Para isso, foi coletada uma amostra aleatória de tamanho n = 5, resultando nos valores x = {0, 0, 5, 10, 20}. Utilizando o teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov e considerando as aproximações e–1 = 0,37, e–2 = 0,14 e e–4 = 0,02, o valor aproximado da estatística Dmax é
A
0,40.
B
0,20.
C
0,26.
D
0,63.
E
0,98.
Considere o método de alisamento exponencial simples aplicado a uma série temporal mensal composta por 36 observações. Suponha que o parâmetro de suavização assuma o valor α = 1.
Nessas condições, é correto afirmar que a previsão para o próximo período
A
será igual à média ponderada de todos os valores observados da série temporal, com pesos positivos decrescentes atribuídos às observações passadas.
B
será igual à média aritmética de todos os valores observados da série temporal.
C
será independente dos valores observados na série temporal.
D
será igual ao valor mais recentemente observado na série temporal.
E
corresponderá ao maior valor observado na série temporal.
Em uma estação de monitoramento, certos eventos aleatórios são registrados ao longo do dia. Sabe-se que esses registros seguem um processo de Poisson, ocorrendo em média 6 vezes por dia. Considere que um desses eventos acabou de ser observado. Seja 𝑋 o intervalo de tempo que levará até que o próximo registro aconteça.
Assinale a opção que apresenta corretamente a distribuição de probabilidade associada à variável 𝑋.
A
exponencial, com parâmetro 0.6
B
exponencial, com parâmetro 6
C
binomial com parâmetros n = 20 e p = 0,12.
D
binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,01.
E
Cauchy com parâmetros 6 e 20.
Se E[Y∣X=x]=2x², em que Y∣X=x segue uma distribuição exponencial, então a probabilidade condicional P(Y>8∣X=2) será igual a
A
0,125×exp(1).
B
1−0,125×exp(−1).
C
1−exp(−1).
D
exp(−1).
E
0,125×exp(−1).
Ano:
2025
A figura a seguir mostra a função de log-verossimilhança para o parâmetro de uma distribuição exponencial obtida para o seguinte conjunto de dados: 3,72; 8,31; 4,48; 0,07; 0,71; 1,11; 9,17; 31,93; 7,57; 9,24; 4,14; 18,56; 24,32; 3,45; e 8,33. As setas mostram quantidades de interesse para inferência baseada nesta função.
A análise da função de verossimilhança permite afirmar:
A
Se for feita a reparametrização ϕ=log(θ), tem-se que l(ϕ)=log(l(θ)).
B
O valor 0,051 é a estimativa pontual, e a intervalar é (0,089, 0,141).
C
O intervalo de confiança de Wald é simétrico ao redor da estimativa do parâmetro e baseia-se na aproximação quadrática desta função.
D
Definindo o mesmo nível de confiança utilizado para o intervalo de confiança, a hipótese de que o valor do parâmetro difere de 0,131 deve ser rejeitada.
E
Caso houvesse interesse em obter um intervalo com um nível de confiança menor do que o utilizado no gráfico, o intervalo teria maior amplitude do que o mostrado no gráfico.
Sabe-se que 𝑋 tem distribuição exponencial com parâmetro 𝜃 quando a função densidade de probabilidade de 𝑋 é dada por 𝑓( 𝑥 ∣ 𝜃 ) = 𝜃𝑒 −𝜃𝑥 , 𝑥 > 0. Logo, a variância de 𝑋 é dada por:
A
𝜃 2 .
B
θ21.
C
θe.
D
𝜃 .
O tempo entre 2 comunicações de emergência enviadas de um submarino para uma base segue uma distribuição exponencial com média de 30 minutos. Calcule a probabilidade de que o tempo entre duas comunicações consecutivas seja inferior a 20 minutos e assinale a opção correta.
A
1-e-2/3
B
2-e-2/3
C
1-e-1/2
D
2-e-3/4
E
3-e-2/3
a diferença V - W segue uma distribuição exponencial com variância igual a 2.
C
Certo
E
Errado
a forma 2 • (V + W) se distribui conforme uma distribuição exponencial com variância igual a 8.
C
Certo
E
Errado
o mínimo entre V e W segue uma distribuição exponencial com média igual a 0,5.
C
Certo
E
Errado
Considere X como uma variável aleatória que representa o tempo (em horas) entre o recebimento de denúncias no canal de comunicação de certo Tribunal de Justiça, cuja função densidade de probabilidade é dada por:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑒−2𝑥 , 𝑥 > 0,
onde 𝒄 é uma constante positiva. Qual é o valor de 𝒅, em horas, tal que 𝑷(𝑿 ≤ 𝒅) = 𝟎, 𝟕𝟓?
(Dados: ln(0,125) = -2,08; ln(0,25) = -1,39; ln(0,75) = -0,29; ln(1) = 0; ln(2) = 0,69.)
A
0,14.
B
0,35.
C
0,50.
D
0,69.
E
1,04.
Se uma densidade pertence à família exponencial, então ela pode ser escrita como
f(x) = a(θ)b(x) exp{c(θ)d(x)}, sendo a, b, c e d funções.
Lembremos que se uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn é obtida de uma densidade que pertence à família exponencial, então, pelo critério de fatorização, uma estatística suficiente é dada por
A
∑d(Xi)}
B
exp {∑d(Xi)}
C
c (∑(Xi)}
D
∑ c(Xi)}
E
n∑c(Xi)
Assinale a opção correta com relação às propriedades do expoente.
A
(am)n = a m+n
B
am/an = am+n (a = 0 e m ≥ n)
C
am . an =am-n
D
(a/b)n = an/b
E
(a .b )n = an .bn
P(X=3)=161.
C
Certo
E
Errado
Avalie se as seguintes famílias de densidades pertencem à família exponencial:
I. Distribuição Normal
II. Distribuição Poisson
III. Distribuição Bernoulli
IV. Distribuição Geométrica
Pertencem de fato à família exponencial
A
I, III e IV, apenas.
B
II, III e IV, apenas.
C
I, II e III, apenas.
D
I, II, III e IV.
Uma distribuição Exponencial possui valor esperado igual a 0,5. O valor da esperança do quadrado dessa variável aleatória é:
A
0,00;
B
0,25;
C
0,50;
D
0,75;
E
1,00.
Ano:
2024
Suponha que o número de ocorrências de determinado evento ocorra no tempo de acordo com um processo Poisson com uma taxa média de 5 ocorrências por dia. Suponha ainda que uma ocorrência tenha acabado de ocorrer.
Se X é o tempo decorrido até que a próxima ocorrência aconteça, então X tem distribuição
A
exponencial com parâmetro 5.
B
exponencial com parâmetro 0,5.
C
Cauchy com parâmetros 5 e 24.
D
binomial com parâmetros n = 24 e p = 0,222.
E
binomial com parâmetros n = 5 e p = 0,1.
Considerando que a durabilidade D , em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 e que e−1=0,37, então a probabilidade P(D≤4) será igual a
A
0,1369.
B
0,37.
C
0,5.
D
0,63.
E
0,8631.
Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o número de ocorrências de um certo evento A em 𝑡 unidades de tempo.
A distribuição de probabilidade de 𝑋 segue a distribuição de Poisson, isto é, a probabilidade de {𝑋 = 𝑥} é dada por:
𝑒 −𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥/𝑥!,
onde 𝜆 é a taxa de ocorrência por unidade de tempo.
Considerando o exposto, o valor esperado do tempo entre duas ocorrências consecutivas do evento A, é
A
𝑡.
B
𝜆𝑡.
C
𝑡/𝜆.
D
1/𝜆.
E
2/𝜆.
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição exponencial com parâmetro λ, então a variável X + Y tem distribuição
A
exponencial com parâmetro 2 λ.
B
gama com parâmetros 2 e λ.
C
beta com parâmetros 1 e 2 λ.
D
cauchy com parâmetros 1 e λ.
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