Questões de Concurso sobre Exponencial

Se $Y$ = $\pi X^2$, então $Y$ segue distribuição exponencial.

Um fabricante de um equipamento admite que o tempo de funcionamento (T) desse equipamento, em horas, sem apresentar falhas obedece a uma lei exponencial com função densidade dada por f(t) = λe^-λt, se t > 0 e que f(t) = 0, caso contrário. Utilizando o método da máxima verossimilhança, ele obteve a estimativa pontual do parâmetro λ com base nas informações obtidas do tempo de funcionamento de 500 equipamentos selecionados aleatoriamente de sua produção. O quadro abaixo fornece os resulta-dos obtidos.

Obs.:

n_i é o número de equipamentos que apresentaram falhas em t_i horas.

A estimativa pontual do parâmetro λ obtida pelo fabricante foi, então, de

Seja X o tempo (em horas) necessário, após a segunda dose de uma vacina, para que o organismo de uma pessoa produza anticorpos suficientes para evitar uma infecção grave de Covid 19. Suponha que X tenha distribuição exponencial de parâmetro 360, isto é, X tem função de densidade

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{360}exp(-x/360),& x\ge 0\\ \frac{1}{360}exp(-x/3600,& x<0\end{array}$

Em um grupo de 20 pessoas, é CORRETO afirmar que a probabilidade de que no máximo 2 pessoas precisem de pelo menos 30 dias para desenvolver anticorpos suficientes para evitar uma infecção grave é dada por

Suponha que X tenha distribuição exponencial com parâmetro λ = 0,25, ou seja, a função de densidade de probabilidade de X é dada por f(x) = 0,25e^-0,25x, x > 0, f(x) = 0, nos demais casos.

A média de X é então igual a:

Considere uma variável aleatória X com função de probabilidade exponencial com parâmetro θ > 0. Nesse caso, avalie se as seguintes afirmativas são falsas (F) ou verdadeiras (V):

( ) E[ X ] = 1/θ e Var[ X ] = 1/ θ².

( ) Se um processo Poisson está ocorrendo no tempo, então a variável aleatória que mede o tempo entre duas ocorrências sucessivas tem distribuição exponencial.

( ) A distribuição exponencial não tem memória, ou seja, se X tem distribuição exponencial, e se a e b são constantes positivas, P[ X > a + b | X > a] = P[ X > b].

As afirmativas são, respectivamente,

Considere X₁, X_2, ..., X_n uma amostra aleatória simples de uma função de densidade exponencial parâmetro $\theta$, ou seja,

-

$f\left(x;\theta \right)=\theta \exp \left\{-\theta x\right\},sex>0,f\left(x,\theta \right)=0,sex\le 0.$

-

O estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima de $1$/$\theta$ é

Considere um sistema de fila de um cartório com servidor único, fila ilimitada e fonte de chegada ilimitada.

Suponha que as chegadas ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson, e os atendimentos, de acordo com uma distribuição exponencial.

Se chegam em média 20 clientes por hora e o número médio de clientes no cartório é 2, cada cliente gasta, em média, para ser atendido:

Um médico atende seus pacientes segundo um processo de Poisson com taxa de 5 pacientes por hora. Considere que o tempo de consulta segue uma distribuição exponencial com média 1/6 de hora e com disciplina de atendimento FIFO. O número mínimo de lugares necessários na sala de espera para que a probabilidade do paciente chegar e ficar em pé seja inferior a 10% é dado por

Dados:

Log₁₀ 3 = 0,48 log₁₀ 5 = 0,70 log₁₀ 6 = 0,78

Suponha que o tempo de execução de uma tarefa segue uma distribuição exponencial com parâmetro 𝜆 > 0 (com esperança $\frac{1}{\lambda }$). Para garantirmos que o tempo de execução da tarefa não ultrapasse log(2) unidades de tempo com probabilidade não menor que 0,75, 𝜆 NÃO pode ser:

Se X tem distribuição exponencial com parâmetro λ, ou seja, se $f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}$ se $x>0,\lambda >0,$ então a variância de X é igual a

Sejam X₁, X₂,..., X_n observações de uma amostra aleatória da distribuição exponencial com parâmetro λ > 0 , isto é,

$f_{X_1}\left(x\right)=$ $\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\lambda }exp(-x/\lambda ),& x\ge 0\\ \frac{1}{360}exp(-x/0,& x<0\end{array}$

Sabe-se que, se $Y={\sum }_{i=1}^n{X}_i$, então $\frac{Y}{n}$ é o único estimador não viciado e de mínima variância para λ, Var $\left(\frac{Y}{n}\right)=\frac{{\lambda }^2}{n}$ .

É CORRETO afirmar que o único estimador não viciado e de mínima variância para Var $\left(\frac{Y}{n}\right)$ é dado por

Se os tempos de vida X₁, X₂, ..., X_n de n bulbos são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas exponencial com parâmetro λ, então a soma X₁ + X₂ +...+ X_n desses tempos de vida tem distribuição

Uma indústria vende um equipamento eletrônico que ela produz ao preço unitário de venda de R$ 1.000,00. O custo para a fabricação de cada equipamento é de R$ 400,00 e o tempo (T), em anos, de duração da vida do equipamento é considerado como uma variável aleatória com uma função densidade de probabilidade igual a f(t) =$\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{e}^{-t/2},se& t\ge 0\\ 0,se& t<0\end{array}$ . A indústria garante a devolução do aparelho caso ele apresente um defeito se t < m/2. O parâmetro real m corresponde à média da duração de vida do equipamento. O lucro esperado por equipamento, considerando e^−0,5 = 0,61, e⁻¹ = 0,37 e e⁻² = 0,14, é de

Se X₁, X₂, ..., X_n é uma amostra aleatória simples de uma densidade exponencial f(x; θ) = θexp{-θx}, x > 0, e se T é um estimador não tendencioso qualquer de θ, então, pela desigualdade de Cramér-Rao, a variância de T é maior ou igual a

Avalie as seguintes afirmativas acerca de uma variável aleatória X com distribuição exponencial de probabilidades com parâmetro $\lambda$ > 0.

I. Se $\lambda$ > 1, então E[ X ] > Var[ X ].

II. P[ X > a + b | X > a ] = P[ X > b ], a > 0, b > 0.

III. A função de densidade de probabilidade de X é simétrica em torno de sua média.

Está correto o que se afirma em

A evolução do número de infectados pelo coronavírus no Brasil (y) apresentou um crescimento exponencial em função do número de dias (d) após o primeiro caso confirmado no dia 26 de fevereiro de 2020. No 26^o dia, já havia cerca de 1500 casos confirmados. As estimativas do modelo exponencial y = ae^bd são $\hat{a}$ = 0,4688 e $\hat{b}$ = 0,3118 para os 26 primeiros dias, com coeficiente de explicação de 0,9981, apresentados no gráfico. Sabe-se que este modelo pode ser linearizado. Considerando não haver mudança no comportamento da população e ser possível a infecção de uma população inteira, o tempo para o contágio de 213 milhões de pessoas seria de, aproximadamente,

Dados: LN(213 × 10⁶) = 19,2; LN(0,4688) = - 07576.

Se uma amostra aleatória simples de tamanho $n=4$, representada por $X_1,X_2,X_3,X_4$, for retirada de uma distribuição exponencial com média igual a 2, então o valor esperado de $X_{\left(1\right)}=\min \left\{X_1{X}_2{X}_3{X}_4\right\}$ será igual a

Supondo que uma variável aleatória (x,y) tenha uma função densidade de probabilidade conjunta dada por $f$$\left(x,y\right)=e^{-2\left(x+y\right)}$ , $x,y>0$. Com a informação dada, determine $P\left(x>y\right)$.

Suponha que carros passem por um posto de observação em uma estrada remota de acordo com um processo Poisson, com taxa média de ocorrência igual a 2 carros por minuto.

Se um carro acaba de passar por esse posto, o tempo de espera, até que o próximo carro passe pelo posto, tem distribuição de probabilidades:

Se M = máx{T₁, T₂}, representa o tempo máximo entre T₁ e T₂, então M segue distribuição exponencial com média igual a 7 dias.