Questões de Concurso sobre Limites, Derivadas, Integrais, Equações Diferenciais e Séries

A solução geral da equação diferencial ordinária 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = −28𝑒^4𝑥 + 12𝑥 é igual a:

Considere $\beta$ um valor real maior do que zero. O valor da área 4 limitada pelas curvas $y^2=\beta x;$ $x+3y=4\beta$ e pelas retas $x=0$ e $x=\beta$ é

Sejam os polinômios $f$($x$) = $x^2$ − 3$x$ + 2 e $g$($x$) = 2$x$ − 2, a área de |$f$($x$) − $g$($x$)| no intervalo (0,4) é igual a:

Considerando a função real $f(x)$ = $x$⁵cos($x$), analise as assertivas abaixo, assinalando V, se verdadeiras, ou F, se falsas.

( ) $f$ é uma função ímpar.

( ) $\underset{x\to 0}{\lim }$ $f(x)$ = 0.

( ) $\underset{x\to \pi }{\lim }$ $\frac{f\left(x\right)+{\pi }^5}{x-\pi }$ = 0.

( ) $f(x)$ + $x^5$ cos($x$ + $\pi$) $\ne$ 0, para uma quantidade infinita de valores de $x\in R$.

A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

Considere a função de duas variáveis reais 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥³𝑦+4𝑥𝑙𝑛(𝑦). Qual é o valor de 𝑓_𝑦𝑥(0,−2)?

Se $f:\mathbb{R}$\ {$1$} $\to \mathbb{R}$ for a função definida por

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$

então,

Considere a função 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥².𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦). É correto afirmar que $\frac{\partial f}{\partial x}$ (𝜋,1) é dado por:

Em relação à função 𝑓(𝑥) = $\frac{4x}{x^2+1}$, analise as seguintes assertivas:

I. 𝑓 tem um ponto de máximo absoluto no ponto (1, 2).

II. 𝑓 possui uma assíntota vertical, a reta 𝑥 = 0.

III. No ponto no qual 𝑥 = −1, 𝑓 é côncava para cima.

Quais estão corretas?

Considere a função a seguir, com domínio ℝ −{−𝟏}.

𝒇(𝒙) = $\frac{x^2+1}{x+1}$

O gráfico dessa função possui uma assíntota vertical, a reta 𝒙 = −𝟏. Além da assíntota vertical, o gráfico da função tem uma assíntota oblíqua, cuja equação é dada por:

O valor do limite

${}_{x\to +\infty }^{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)}{{\left(5x-1\right)}^5}$

é

Seja $f:$ $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a função definida por

$f\left(x\right)=e^{\left(-x^3+3x\right)}$

Pode-se afirmar que

Considere as seguintes funções $f\left(x\right)=e^x,g\left(x\right)=e^{x+1}$ e $h\left(x\right)=1+e^{x+1}$.

Assim, é correto afirmar que

O valor de $\begin{array}{c}lim\\ x\to \frac{81}{16}\end{array}$ $\frac{\sqrt{x}-2,25}{\sqrt[4]{x}-1,5}$ é

Considere os números

$\alpha =\frac{1}{2023}+{\left(\frac{1}{2023}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1}{2023}\right)}^{2023}$ e $\beta =0,0005.$

É CORRETO afirmar que:

Qual é o comprimento de arco da curva $\overrightarrow{F}$(𝑡)=(𝑐𝑜𝑠(2$\sqrt{2}$𝑡),𝑠𝑒𝑛(2$\sqrt{2}$𝑡),𝑡 ) no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝜋?

Seja $f(x)$ = $\theta$ln(2$x$ + $\beta$), para $x$ ≥ 0, onde $\beta$ > 0 e $\theta$ ∈ $R$ são constantes desconhecidas. Seja $g$: $R$ → $R$ a reta tangente à $f$ no ponto $x$ = 1. Sabendo-se que $f$(0) = 0 e $g$(1) = 2ln(3), concluímos que o valor de $\theta$ e $\beta$ são, respectivamente, iguais a:

Considere a função $f$: $\left(\sqrt{2},\infty \right)$ → $\left(2,\infty \right)$ dada por $f(x)$ = $\frac{1}{3}{\left(x^2-2\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}$ + $2$. Seja $k$ > 3 tal que o comprimento do arco de $f$ (digamos $c$) no intervalo (3, $k$) seja igual a 60. Então, o valor de $k$ é:

Sabe-se que o raio de convergência da série ${\sum }_{n=0}^{+\infty }$ $C_n{\left(x-4\right)}^n$ é igual a 6. Nesse caso, pode-se afirmar que:

I. ${\sum }_{n=0}^{+\infty }$ $C_n{4}^n$ é convergente.

II. ${\sum }_{n=0}^{+\infty }$ $\left(-1\right)$ ${}^n{C}_n{8}^n$ é convergente.

III. ${\sum }_{n=0}^{+\infty }$ $C_n$ é divergente.

Quais estão corretas?

Demonstra-se por indução que $1+4+9+16+...+n^2=\frac{1}{6}.n\left(n+1\right)\left(2n+1\right),$ para todo n $\in$ N*. A partir dessa identidade prova-se que existem números naturais x e y, tais que 101 = 17x – 50y. Portanto, a soma (x+y) equivale a:

Considere a seguinte proposição: “Se 𝒚 = 𝒖^𝒗, em que 𝒖 = 𝒖(𝒙) e 𝒗 = 𝒗(𝒙) são funções de x, deriváveis num intervalo I e 𝒖(𝒙) > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝐈 então 𝒚′ = 𝒗. 𝒖^{𝒗− 𝟏}. 𝒖′ +𝒖^𝒗 .𝒍𝒏 𝒖 . 𝒗′ ”. Se 𝒚 = 𝒖^𝒗, sendo 𝒖 = 𝒙 e 𝒗 = 𝟐𝒙^𝟑, pode-se afirmar que:

Fonte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.