Questões de Concurso sobre Limites, Derivadas, Integrais, Equações Diferenciais e Séries

A figura mostra um círculo 𝐶1 de equação (𝑥 − 2)² + 𝑦² = 4 e um círculo 𝐶₂, de raio 𝑟, centrado na origem. O ponto 𝑃 tem coordenadas (0, 𝑟), 𝑄 é o ponto de intersecção dos dois círculos que pertence ao primeiro quadrante, e 𝑅 é o ponto de intersecção da reta que contém 𝑃 e 𝑄 com o eixo $\overrightarrow{OX}$. O valor da abscissa de 𝑅, quando 𝑟 → 0⁺, é:

Para que a função $f\left(x,y\right)=e^{a{x}^2-2x+by}$ seja estritamente convexa, é necessário que

Sendo $X:U\subset R^2\to R^3$ uma superfície parametrizada regular e 𝐷 ⊂ 𝑈 uma região do plano, a área da região 𝑋(𝐷) é dada por

$a\left(X\left(D\right)\right)={\int }_{}^{}{\int }_D^{}\sqrt{EG-F^2}dudv,$

sendo E, F e G os coeficientes da primeira forma quadrática de X, ou seja, 𝐸 = |𝑋_u|² , 𝐹 = 〈𝑋_u, 𝑋_v〉, 𝐺 = |𝑋_v|².

Considere a superfície 𝑋(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, 30 - 3𝑢 + 4𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈ ℝ², e a região 𝐷 = {(𝑢, 𝑣) ∈ ℝ² : 𝑢² + 𝑣² < 10).

Se

$t=\frac{A\left(X\left(D\right)\right)}{\pi },$

é correto afirmar que

Geralmente, para resolver uma equação diferencial da forma $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$, em que a, b, c são constantes reais, busca-se uma solução da forma $y=e^{rx}.$ Com isso, obtém-se a equação característica $a{r}^2+br+c=0.$ Quando tal equação possui duas raízes reais distintas $r_1$ e $r_2$, a solução geral é da forma $y=C_1{e}^{{}^r{1}^x}+C_2{e}^{{}^r{2}^x}.$

Não é o caso da equação diferencial ordinária (EDO) $y^{\prime \prime }-8y^{\prime }+16y=0,$ posto que a equação característica possui uma raiz dupla $r_1=r_2=r_4.$ Para resolvê-la, emprega-se o chamado método de redução de ordem, escolhendo 𝑦 na forma 𝑦 $\left(=g\right)x.e^{4x}.$

Seja $\phi :R\to R$ a solução de $y^{\prime \prime }-8y^{\prime }+16y=0$ que satisfaz as condições $\phi \left(0\right)=3,{\phi }^{\prime }\left(0\right)=5$.

Dessa forma, é correto afirmar que

Se $\left(a_n\right)$ for uma sequência de números reais, de forma que $a_{3n}$ - $a_{2n}$ ≤ $\frac{1}{n^2}$, então a sequência $\left(a_n\right)$ converge.

Equações diferenciais de primeira ordem como

$p^{\prime }\left(t\right)+p\left(t\right)=2$

podem ser úteis para modelar a dinâmica de preços de determinado produto em função do tempo. Considerando $p\left(0\right)$ $=p_0$, então o valor de $p\left(t\right)$ no instante de tempo $t=\ln \left(\frac{5}{2}\right)$ é

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) são definidas como:

Seja a sequência $\left(a_n\right)$ definida recursivamente por $a_1=\sqrt{2}$ $e{a}_{n+1}=\sqrt{2+a_n},n\in N.$ Seja ainda a sequência $\left(b_n\right)$ cuja expressão é $b_n\sqrt[n]{n!},n\in N=\left\{1,2,3,4...\right\}$. É correto afirmar que

Sendo w = tg(x) e x = 4t² + t , calcule $\frac{dw}{dt}$ e assinale a opção correta.

Quando se entende parcialmente uma teoria, é possível que se chegue a muitos absurdos por inobservâncias das condições para aplicar determinados resultados matemáticos. Foi isso essencialmente o que aconteceu com a análise, durante o século seguinte à invenção do cálculo diferencial e integral, tendo como resultado uma acumulação de absurdos. Observe os procedimentos abaixo:

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Considere a integral

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$I_1={\int }_{}^{}senx\cos xdx={\int }_{}^{}senx\left(\cos xdx\right)={\int }_{}^{}senxd\left(senx\right)=\frac{se{n}^2}{2}+c$

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Por outro lado,

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$l_2={\int }_{}^{}senx\cos xdx={\int }_{}^{}\cos x\left(senxdx\right)=-{\int }_{}^{}\cos xd\left(\cos x\right)=-\frac{{\cos }^{2}x}{2}+c$

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Portanto,

-$\frac{se{n}^2}{2}+c=-\frac{{\cos }^{2}x}{2}+c$ ou $se{n}^{2}x+{\cos }^{2}x=0$

Mas, por outro lado, sabemos que

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$se{n}^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$Absurdo!

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Marque a alternativa CORRETA que justifica a razão do absurdo demonstrado.

Calcule $li{m}_{x\to \infty }\frac{e^x}{{\overline{x}}^3}$ e assinale a opção correta.

Existem n valores de r que fazem com que a função y = e^rx satisfaça a equação diferencial 2y" + y' – y = 0. A respeito de n e de r₁,r₂,…,r_n , é correto afirmar que

Ao apresentar para aos alunos o gráfico de V(h), feito no computador, o aspecto de maior interesse na análise gráfica é o da identificação

Um dos fatores de eficiência do método de Newton-Raphson, na comparação com outros métodos, é a taxa de convergência, dada por uma função cúbica.

A série de Fourier de f(x) é igual a

Seja $F$ uma função real definida por $F\left(t\right)=$ $\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_0^b$e${}^{-tx}g\left(x\right)dx$, em que $g\left(x\right)$ =$x{e}^{-ax}$ com $a$ um número real. Assinale a opção que apresenta todos os valores de t para os quais $F$($t$) exista.

Um professor de Cálculo Diferencial e Integral, com intuito de demonstrar que dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛 , a sua derivada é 𝑓′ (𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1 , usando definição de derivada como um limite, chegou à seguinte expressão:

𝑓′ (𝑥) = ${}_{\Delta x\to 0}^{\lim }\frac{{\left(x+\Delta x\right)}^n-x^n}{\Delta x}$

A expansão do termo (𝑥 + ∆𝑥)^𝑛 é dado por

Se $\left(a_n\right)$ é uma progressão aritmética com razão q, tal que -1 < q < $-\frac{1}{2}$, então $\left(a_n\right)$ não é convergente, pois seus termos alternam entre positivo e negativo.

Com base no teorema de Green, calcule a expressão abaixo e assinale a opção correta.

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$\underset{c}{\oint }(3y-e^{sen(x)}dx+(7x+\sqrt{y^4+1})dy$

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Dados: $C$ = circulo com centro na origem; e raio $r$ = 2.

Calcule e encontre a derivada de $e^{x^2}$.