Questões de Concurso sobre Limites, Derivadas, Integrais, Equações Diferenciais e Séries

Considere a função real $f$:(0, ∞) → $R$, dada por $f(x)$ = $\frac{1-e^{2x-x^2}}{\ln \left(x\right)}$. Analise as seguintes assertivas a respeito de $f$:

I. $\underset{x\to \infty }{\lim }$ $f(x)=0$

II. $\underset{x\to {\infty }^{+}}{\lim }$ $f(x)=0$

III. $f(x)<0$, para todo $x$ $\in$ (0,1)

Quais estão corretas?

Considerando-se a função f(x)= $\{\begin{array}{c}x,x<1\\ 2^{x-1},1\le x\le 4\\ x^2-2x+1>4\end{array}$ analisar os itens abaixo:

I. A função f(x) é contínua em todo o seu domínio.

II. ${}_{x\to 4^{+}}^{\lim }$ f(x) = 9

III. ${}_{x\to 1^{-}}^{\lim }$ f(x) =${}_{x\to 1^{+}}^{\lim }$

Estão CORRETOS:

Limites, derivadas e integrais nos ajudam a resolver vários problemas matemáticos, em diversas áreas do conhecimento, sejam eles complexos ou simples. Por exemplo numa análise de uma reta tangente a uma determinada função f(x), uma derivada pode determinar sua inclinação, e esta pode nos mostrar alguma propriedade gráfica num gráfico cartesiano. Como exemplo, podemos ter como resultado 2 + 3.x² – 14.x. Este resultado é obtido com a derivada da função:

Assinale a alternativa correta.

O valor do limite ${}_{x\to 0}^{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$ é

Um bolo é retirado do forno de um fogão a uma temperatura T de 180º Celsius. Cinco minutos depois, sua temperatura é de 100º Celsius e, algum tempo depois, o bolo atingirá a temperatura ambiente de 30º Celsius. Usando a lei de esfriamento/aquecimento de Newton dada pela equação $\frac{dT}{dt}$ = 𝑘(𝑇 − 𝑇_𝑚) e aproximação de 2 casas decimais, o modelo matemático que representa a situação descrita é:

Considere as seguintes afirmações:

I. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais alta ordem contida na equação.

II. O grau de uma equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação.

III. $x{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2-y=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ é uma é uma equação diferencial de 2ª ordem e 2º grau.

Analisando as sentenças acima, é correto afirmar que:

É fato conhecido em análise o seguinte: dadas três sequências de números reais $\left(a_n\right),\left(b_n\right)$ e $\left(c_n\right)$ tais que $a_n\le b_n\le c_n$ e $\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}{a}_n=$ $\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}$ $c_n=L,$ então conclui-se que $\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}{b}_n=L.$ Tal fato tem relação com o famoso teorema do confronto, mais conhecido como teorema do sanduíche.

É fato conhecido, também, e fácil de demonstrar que $\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}$ $\sqrt[n]{\alpha }=1$ , em que 𝛼 é qualquer constante real positiva.

É correto afirmar que o valor do limite $L=\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}$ $\sqrt[n]{3^n+4^n+12^n}$ é igual a

O método de Newton-Raphson, também conhecido como método da secante, utiliza uma sequência de linhas secantes para fazer aproximações sucessivas da raiz de uma função f(x).

A partir da fórmula iterativa do método de Newton-Raphson, uma aproximação inicial, em x = 6, para a equação f(x) = x² – 4, resulta no valor de x₁ superior a 4.

O cálculo de uma integral tripla pode ser facilitado por meio de uma mudança apropriada do sistema de coordenadas. Levando em consideração esse fato,

${\int }_0^{}{\int }_0^{\sqrt{8-x^2}}{\int }_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{16-x^2-y^2}}\left(\frac{\pi }{3}\right)$ x² z dzdydx vale:

Dados os conjuntos 𝐴 = {1,2,3, . . . , 𝑝} e 𝐵 = {1,2, . . . , 𝑞}, tais que: |𝐴| = 𝑝, |𝐵| = 𝑞, sendo 𝑝 e 𝑞 números inteiros positivos, pode-se construir funções 𝑔 não decrescentes, ou seja, 𝑔(𝑖) ≤ 𝑔(𝑗) para todo 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑝, tendo como domínio e contradomínio, respectivamente, os conjuntos 𝐴 e 𝐵. Como exemplo de funções desse tipo, podemos construir a função 𝑔: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑔(𝑥) = 3, para todo 𝑥 ∈ 𝐴. Assim, pode-se concluir que o número de funções distintas 𝑔: 𝐴 → 𝐵, não decrescentes é igual a:

Considere o retângulo 𝑅 com dimensões 𝑎 e 𝑏 e o retângulo 𝑊 que circunscreve 𝑅, de modo que cada lado de 𝑊 contém apenas um vértice de 𝑅. Sendo assim, determine a expressão que representa a área máxima de 𝑊.

A derivada $\frac{dy}{dx}$ da função $y\left(x\right)$ definida implicitamente sobre a curva $2xy-\pi$ sen$\left(2y\right)=\pi$, no ponto $y=\frac{\pi }{2}$, é dada por

Sendo $F_n$ a sequência de Fibonacci, a sequência $\left(b_n\right)$ em que $b_n$= $\frac{F_{n+1}}{F_n}$, converge para um número maior que 1,5.

Considere as seguintes funções de uma variável real:

$f(x)=x^x,x\in R,x>0,g(x)=2^x,x\in R,h(x)=exp(x²),x\in R$, em que exp(t) = e^t, e $e=$ $\begin{array}{c}lim\\ n\to \infty \end{array}$ ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ é a base dos logaritmos naturais.

Com a notação padrão w' para indicar a derivada de uma função w, é correto afirmar que os valores de ݂$f^{\prime }\left(e\right),g^{\prime }\left(1\right)$ e $h^{\prime }\left(0\right)$ são, respectivamente, iguais a

0 cálculo de integrais de linha pode ser facilitado por ferramentas, como o teorema fundamental das integrais de linha, o teorema de Green e o teorema de Stokes.

Com base nessa afirmação, o valor de ${\int }_c^{}{z}^{2}dx+e^{-y^2}dy+xdz$, em que C é a fronteira da parte do plano x + y + 2z = 1 que está no primeiro octante, orientada no sentido horário quando vista de cima, é:

Calcule a integral definida abaixo e assinale a opção correta.

${\int }_0^1$ t² e^t dt

Considere a função $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$ definida por $f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}}.$

O maior valor de f é

Os valores das integrais definidas ${\int }_0^2{e}^{x}dx$ e ${\int }_1^{4}x{e}^{x}dx$ são iguais, respectivamente, a

Seja a função g: ℝ → ℝ definida por g(x) = $\{\begin{array}{ccc}\frac{x³+1}{x}& se& x\ne 0\\ 3& se& x=0\end{array}$

Analise as afirmativas a seguir.

I. À função g(x) é continua no ponto x = 0.

II. No intervalo $]\frac{1}{2},2[$ função g(x) admite ponto mínimo em $\left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2},\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\right)$ .

III. $\begin{array}{c}lim\\ x\to 0\end{array}$ g(x) = ∞.

IV. Dado $x_0\ne 0,$ temos que a equação da reta tangente ao ponto $\left(x_0,g\left(x_0\right)\right)$ é $y=2x_{0}x-x_0^2+\frac{2}{x_0}-\frac{x}{x_0^2}$ .

V. $\begin{array}{c}lim{g}^{\prime }(x)\\ x\to 0\end{array}$ $=-\infty$

Estão CORRETAS as afirmativas: