Questões de Concurso sobre De Bernoulli

Associe os modelos de distribuição discreta de probabilidades às suas características.

1. Distribuição de Bernoulli

2. Distribuição Binomial

3. Distribuição de Poisson

( ) A variável aleatória X é uma contagem do número de sucessos em n tentativas. Repetições independentes de um ensaio, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo.

( ) Experimento aleatório com espaço amostral infinito enumerável. São exemplos: chamadas telefônicas por minuto; mensagens que chegam a um servidor por segundo; acidentes por dia.

( ) Uma variável assume apenas dois valores, 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso. São exemplos: o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; no lançamento de um dado ocorre ou não face 6.

Assinale a opção que indica a associação correta, na ordem apresentada.

Considere a realização de um experimento aleatório que consiste em fazer tentativas de Bernoulli, de modo que:

• As tentativas sejam independentes;

• Cada tentativa apresente apenas um de dois resultados possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso);

• A probabilidade p de um sucesso em cada tentativa, 0 < p < 1, é constante;

• Y é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o primeiro sucesso; e,

• W é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o k-ésimo sucesso, sendo k um número natural maior que 1.

Sobre esse experimento, analise as afirmativas a seguir.

I. A variável aleatória Y possui a propriedade de perda de memória.

II. A variável aleatória W possui uma distribuição hipergeométrica.

III. O valor esperado de Y é E(Y) = $\frac{1}{p}$.

Está correto o que se afirma em

Com o intuito de investigar a probabilidade p de um cliente solicitante de crédito se tornar inadimplente (Y = 1), uma instituição bancária coletou dados de antigos clientes e ajustou um modelo de regressão logística com quatro variáveis explicativas: sexo (variável que assume o valor 0 para Masculino e 1 para Feminino); idade (variável medida em anos); salário (variável medida em milhares de reais); e, classificação interna do cliente (variável medida nas categorias Bronze, Prata e Ouro, sendo Ouro a categoria de referência). Os resultados obtidos após o ajuste do modelo são apresentados na tabela a seguir, tendo-se considerado a função de ligação canônica associada a uma variável aleatória com distribuição Bernoulli com parâmetro p:

Considerando os dados fornecidos, assinale a afirmativa correta.

A estimativa pontual da média populacional proporcionada pelo método dos momentos é igual a 2,4.

Assinale a opção em que é apresentada situação na qual o conjunto de variáveis aleatórias {X_1,X₂,X₃,X₄} denota uma amostra aleatória simples de tamanho 4, com reposição retirada de uma distribuição de Bernoulli.

Considere uma amostra aleatória de tamanho n obtida de uma distribuição Bernoulli com parâmetro p,

-

$f\left(x;p\right)=p^x{\left(1-p\right)}^{1-x}$, $x=0$ ou $1,0\le p\le 1$.

-

A função de verossimilhança correspondente é então

Suponha um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso de cada prova p, sendo p > 0.

Seja X o número de tentativas realizadas até o primeiro sucesso (inclusive).

Se $0\le p\le 1$, a função geradora de momentos de X é:

Sejam X₁, X₂,..., X_n observações de uma amostra aleatória da distribuição Bernoulli com parâmetro 0 < $p$ < 1, isto é,

$P\left(X_1=1\right)=p=1-P\left(X_1=0\right)$

É CORRETO afirmar que o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $q=p.\log \left(p\right)$ é dado por

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma densidade com parâmetro θ unidimensional e avalie se as seguintes afirmativas acerca de estatísticas suficientes são falsas (F) ou verdadeiras (V).

I. Se a densidade é Bernoulli(θ), então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

II. Se a densidade é Normal com média θ com variância conhecida, então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

III. Se a densidade é uniforme no intervalo (0, θ) então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

As afirmativas são respectivamente

$\left\{a_1,...,a_N\right\}$ forma uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

Suponha n provas de Bernoulli com $P\left(sucesso\right)$ = $p,0<p<1$e $X$ o número de sucessos. Sendo $n=6$ e obtendo quatro sucessos e 2 fracassos, a função de verossimilhança é dada por $L\left(p\right)=p^4{\left(1-p\right)}^2$, assim o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p da distribuição binomial é dado por:

Sabe-se que numa cidade muito populosa 60% das pessoas adultas foram vacinadas contra a ação de um vírus.

Se uma amostra aleatória simples de 5 pessoas adultas dessa população for observada, a probabilidade de que mais de 3 tenham sido vacinadas é aproximadamente igual a

A situação em tela representa uma amostragem aleatória simples com reposição.

A fim de estimar a probabilidade θ de sucesso em uma população X~Bernoulli (θ), foi conduzido o seguinte experimento em duas etapas: inicialmente, observou-se uma amostra aleatória X₁ , …, X_n , de tamanho n e, em seguida, observou-se uma nova amostra aleatória X_n+1, …, X_n+m, de tamanho m, independentemente da primeira amostra. Suponha que os seguintes estimadores estão sendo propostos para θ:

$\hat{\theta }$₁ = $\frac{1}{n}$ ${\sum }_{i=1}^n$ $X_i^2$ e $\hat{\theta }$₂ = $\frac{1}{2}$ $\left(\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i+\frac{1}{m}{\sum }_{i=n+1}^{n+m}{X}_i\right)$

Uma das propriedades desejáveis de um estimador é que ele tenha um erro quadrático médio pequeno. O estimador $\hat{\theta }$₂ terá erro quadrático médio menor que o estimador $\hat{\theta }$₁ se, e somente se:

A variável aleatória $X²$ segue uma distribuição de Bernoulli cuja probabilidade de sucesso é igual a $2a.$

Se X₁, X₂, ..., Xn é uma amostra aleatória simples de uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, então o estimador de máxima verossimilhança de p é:

Se $X$ $x$ e $Y$ forem duas variáveis aleatórias independentes tais que $X{\sim }^{}$ Bernoulli ($p=0,8$ ) e $Y$~ Binomial $\left(n=3;p=0,8\right)$ então $P\left(X^4+Y=1\right)$

Na prova de Estatística, a probabilidade de a questão A ser resolvida corretamente é $\frac{3}{7}$. Se quatro alunos fizerem essa prova, a probabilidade de a questão ser resolvida corretamente por pelo menos um aluno é aproximadamente

Considere um experimento aleatório composto de variável do tipo Bernoulli onde a de chance de sucesso é de 20% e a de fracasso é de 80%. Considere ainda que havendo o primeiro sucesso o experimento termina. Nestas condições a probabilidade do experimento terminar antes da terceira tentativa é de:

Considere as seguintes afirmações:

I. as distribuições de Bernoulli e Binomial apresentam as mesmas características e, portanto, os mesmos parâmetros;

II. repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo Binomial;

III. o Teorema do Limite Central garante que, para n suficientemente grande, a distribuição de Bernoulli pode ser aproximada pela distribuição de Poisson.

Pode-se afirmar que