Questões de Concurso sobre Distribuição Normal Padrão

Uma lavanderia adquiriu 50 máquinas de lavar novas. O prazo médio de duração de cada máquina de lavar, especificada pelo fabricante, é de 10 anos, com distribuição normal e desvio-padrão de 3 anos. Depois do prazo médio de duração espera-se que as máquinas de lavar comecem a apresentar problemas.

A tabela abaixo apresenta parte dos valores da distribuição normal padrão Z, N(0, 1), tal que p = P(0 < Z < Z_c).

A quantidade de máquinas de lavar que pode apresentar problemas depois de 7 anos está entre:

Se $\overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}$ e $S=\sqrt{{\sum }_{i=1}^4\frac{{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}{3}}$, então Var $\left[\frac{\overline{X}}{S}\right]$ = 1.

Em um presídio, onde há 3 000 detentos cumprindo pena, afirma-se que a média de idade deles é 33. Escolhidos 100 detentos ao acaso, a média de idade encontrada foi 36. Sabe-se que o desvio padrão das idades é 5 anos. Assinale a alternativa correta.

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Considere, para essa questão, que, se Z é uma variável com distribuição normal padrão, P(-1<Z<1) = 68%, P(-2<Z<2) = 95% e P(-3<Z<3) = 99%.

O intervalo de confiança de 96% igual a [47, 53] para a média μ de uma população normalmente distribuída com 325 elementos foi obtido por meio de uma amostra aleatória de 100 elementos, sem reposição, extraída da população. Na obtenção do intervalo, foi utilizada a variância populacional. Caso a opção fosse por extrair da população com 325 elementos uma amostra aleatória independente da primeira de tamanho 36, sem reposição, com um nível de confiança de 86%, a amplitude do novo intervalo seria, então, de

Uma empresa fabrica determinado tipo de equipamento. O gerente dessa empresa alega que a vida útil deste equipamento é superior a 20 dias. Um comprador duvidando da afirmação do gerente decide medir a vida útil de 36 desses equipamentos escolhidos aleatoriamente. Com o objetivo de utilizar o Teste do Sinal, subtraiu 20 de cada vida observada dos 36 equipamentos e encontrou 24 sinais + e 12 sinais −. Seja p a proporção populacional de sinais positivos e as hipóteses H₀: p = 0,50 (hipótese nula), ou seja, o gerente não tem razão e H₁: p > 0,50 (hipótese alternativa), ou seja, o gerente tem razão. Estabelecendo um nível de confiança de 5% e com a aproximação da distribuição binomial pela normal, sem a correção de continuidade, encontrou-se o valor do escore reduzido r para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(|z| ≤ 1,64) = 90%. O valor de r é igual a

Suponha que se pretende estimar a média μ de uma variável aleatória contínua com variância conhecida igual a 400. O tamanho da amostra para que possamos garantir, usando o teorema central do limite, que o valor da média amostral não diferirá do valor de μ por mais de 1 unidade, com 95% de probabilidade, é no mínimo igual a:

Observação: se Z tem distribuição normal padrão, então P[ Z < 1,96 ] = 0,975

Uma vara do trabalho deseja fazer uma pesquisa sobre a proporção de processos relacionados à falta de vínculo trabalhista. Considere o quadro correspondente à curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(Z ≤ z) = α.

Adotando-se nível de confiança de 95%, erro máximo admissível de 2%, população infinita e condição de variância máxima, o tamanho da amostra aleatória necessária para atender tais requisitos é dado por

$12n({\bar{U}}_n-0,5)$ converge para uma distribuição normal padrão.

O salário médio dos funcionários de uma empresa é normalmente distribuído com média de R$ 2.500,00 e desvio padrão de R$ 1.500,00. A empresa divide os funcionários em 5 classes, a saber: M, N, O, P e Q, onde “M” é a classe com melhor salário e “Q” a classe com menor salário.

Se apenas 5% dos funcionários dessa empresa estão na classe “M”, o menor valor do salário do funcionário para ele pertencer à classe “M” é

[Considere que P(Z ≤ 1,64) = 0,95.]

Acerca da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X normalmente distribuída com média $\mu$ e variância ${\sigma }^2$, avalie as afirmativas a seguir.

I. A variável Z = (X – $\mu$) / $\sigma$ tem distribuição normal padrão.

II. Se M é a mediana de X, então M > $\mu$.

III. P [ X > $\mu$ ] = 0,5.

Está correto o que se afirma em

A variável Y = $\overline{X}$ - $\mu$ segue a distribuição normal padrão.

Nos últimos anos, tem sido observado um aumento no número de brasileiros com plano de saúde. Apesar desse aumento, menos de 1/3 da população nacional tem plano de saúde. Para estudar a distribuição etária da população com e sem plano de saúde, selecionou-se uma amostra, cujos dados são apresentados na tabela abaixo.

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Com base nos dados observados, qual a estimativa da probabilidade de um indivíduo não ter plano de saúde, sabendo que o indivíduo tem 40 anos ou mais?

[20 − 2; 20 + 2] é um intervalo de 95% de confiança para a média populacional em questão.

Deseja-se fazer um estudo sobre a proporção de crimes resolvidos (que levam a uma condenação) em relação ao número total de crimes, que é consideravelmente grande. Qual deve ser o menor tamanho da amostra para garantir que a margem de erro de um intervalo de 95% de confiança não seja superior a dois pontos percentuais?

Considere: se Z é uma variável com distribuição normal padrão, P(-1<Z<1) = 68%, P(-2<Z<2) = 95% e

P(-3<Z<3) = 99%.

Uma mostra aleatória simples de 1.600 eleitores mostrou que 800 disseram que, se a eleição fosse naquele momento, votariam no candidato X.

Um intervalo de 95% de confiança para p, a verdadeira proporção de leitores que pretendiam, naquele momento, votar em X, é aproximadamente dado por

[use P[Z < 1,96] = 0,975]

Para qualquer valor real c, tem-se

$P\left(\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^4{X}_i>c\right)=P\left(X_1<-c\right)$.

O desvio padrão da soma X + Y é igual a 2.

Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a proporção de estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas. Como é impossível entrevistar todos os 2000 estudantes em um tempo razoável, decide-se fazer uma amostragem aleatória simples dos estudantes. Assumindo que não há nenhuma informação a priori disponível para estimar a proporção e sem utilizar a informação do tamanho da população, o cálculo para determinar n, o número necessário de estudantes a serem entrevistados, a fim de estimar a proporção de favoráveis com um erro amostral de 0,05 e 95% de confiança, é:

$\eta ={\left(\frac{0,5x{z}_{0,975}}{0,05}\right)}^2$; em que $Z$_0,975 é o quantil (0,975)da distribuição normal padrão.

A respeito do assunto, considere as seguintes afirmativas:

1. Ao incluir a informação do tamanho da população (de 2000 estudantes) no cálculo de n, o número necessário de estudantes na amostra diminui.

2. Se, no cálculo de n, for utilizada a informação de uma pesquisa similar, conduzida há alguns anos, quando 60% dos estudantes eram favoráveis à mudança, então o número necessário de estudantes na amostra aumenta.

3. Supondo-se que o valor calculado de n foi considerado muito alto pelos líderes estudantis, para diminuir o valor de n, uma estratégia adequada seria diminuir o erro amostral para 0,02, mas manter o nível de confiança em 95%.

4. Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de estudantes que se sentem representados adequadamente por seu centro acadêmico. Nesse contexto, o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pesquisa deve ser igual ao daquele que determina selecionar um maior número de estudantes.

Assinale a alternativa correta.

Em um órgão público com grande número de funcionários, observa-se que os salários desses funcionários estão normalmente distribuídos com média μ e uma variância populacional igual a α². Em um levantamento, apurou-se que 7% dos funcionários ganham menos que R$ 3.000,00 e 16% ganham mais que R$ 8.000,00. A porcentagem de funcionários que ganham um salário que difere da média em mais de R$ 1.000,00 é igual a

As notas dos estudantes de duas turmas da mesma disciplina estão sendo comparadas. Uma das turmas fez as provas ouvindo música clássica; a outra turma fez as provas sem música. Para verificar se as notas médias são iguais ou não, duas amostras, uma de tamanho 7 e outra de tamanho 9, foram retiradas aleatoriamente de cada turma. As informações das notas da turma que ouviu música clássica são: n₁ = 7; $\overline{X}$₁ = 40,2 e ${\sigma }_1^2$ = 0,49; já as notas da turma que não ouviu música são: n₂ = 9; $\overline{X}$₂ = 36,7 e ${\sigma }_2^2$ = 0,81. Qual a conclusão obtida, ao nível de significância de 5%, para testar a igualdade das notas médias das duas turmas?