Questões de Concurso sobre Distribuição Normal Padrão

Suponha que, para estimar uma proporção p populacional de pessoas favoráveis a certa proposta governamental, uma amostra aleatória simples seja observada e mostre que, de 400 indivíduos pesquisados, 200 manifestaram-se favoráveis à proposta.

Lembrando que, se Z tem distribuição normal padrão P[Z < 1,96] = 0,975, um intervalo de 95% de confiança aproximado para p será dado por:

A probabilidade de se encontrar um valor superior a 80 unidades é maior que 1%.

O desvio padrão amostral é igual a 2, no entanto esse resultado representa uma estimativa viciada do desvio padrão populacional $\sigma$ .

A variância da razão X/Y é igual a 1.

A amostra aleatória X₁ , X₂ , …, X₉ foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com variância 𝝈^𝟐 positiva e desconhecida. A partir dos valores observados, obteve-se ${\sum }_{i=1}^9{x}_i=27$ e ${\sum }_{i=1}^9{x}_i^2=113$ . Considere essas informações amostrais e as seguintes informações adicionais: P(Z < 1.28) = 0.90, P(Z < 1.64) = 0.95, P(T₈ < 1.40) = 0.90, P(T₈ < 1.86) = 0.95, P(T₉ < 1.38) = 0.90, P(T₉ < 1.83) = 0.95, P(T₁₀ < 1.37) = 0.90 e P(T₁₀ < 1.81) = 0.95; onde 𝒁 denota uma variável aleatória (v.a.) com distribuição normal-padrão e 𝑻_𝒌 denota uma v.a. com distribuição t-Student com 𝒌 graus de liberdade. Assim, analise as afirmativas a seguir.

I. O limite unilateral inferior de nível 90% de confiança para a média 𝜇 desta população é igual a 1.907.

II. Suponha que se queira testar as hipóteses 𝐻₀: 𝜇 = 2 (hipótese nula) e 𝐻₁: 𝜇 > 2 (hipótese alternativa). Então, pode-se dizer que o p-valor associado a este teste está entre 0.05 e 0.10 e, portanto, 𝐻₀ deve ser rejeitada ao nível de 10% de significância.

III. Se o valor verdadeiro de 𝜇 é 2.5, então o poder do teste associado às hipóteses 𝐻₀: 𝜇 = 2 (hipótese nula) e H₁ : μ > 2 (hipótese alternativa) corresponde à P(Z > 0.75).

Está correto o que se afirma em

Em uma determinada população, a variável aleatória que corresponde à quantidade de hemoglobina por 100 mL de sangue possui distribuição normal com média igual a 16 g. Considerando que 5% dos valores dessa variável são menores que 9,44 g e 90% dos indivíduos possuem uma quantidade de hemoglobina inferior a H, qual será o valor de H?

(Dados: valores de probabilidades P(Z ≤ z), em que Z é uma variável aleatória normal padrão.)

A variância da soma 2X + Y é igual a 7.

Se $\mu$ e $\sigma$ representam, respectivamente, a média e o desvio padrão da variável aleatória $Y$ , então o Teorema Central do Limite estabelece que a quantidade

$Z=\frac{Y-\mu }{\sigma /\sqrt{5}}$

segue a distribuição normal padrão.

$P\left(X+\frac{Y}{2}\le 0\right)<P\left(X+\frac{Y}{2}>0\right).$

De acordo com a lei fraca dos grandes números, a média amostral ${\overline{X}}_n$ converge quase certamente para μ à medida que o tamanho da amostra n aumenta.

Para qualquer tamanho amostral n, tem-se E[S_n] = σ.

Numa indústria cerâmica, algumas peças são classificadas em nível inferior (tipo B) quando apresentam algum defeito leve, mesmo que este não prejudique sua utilização. A gerência considera satisfatório até 20% de peças tipo B. Uma amostra de 400 peças foi examinada, e a classificação mostrou 100 classificadas como tipo B. Verifique, pelo teste de uma proporção, ao nível de significância de 0,05, se há evidência de que o processo produtivo esteja produzindo mais de 20% de peças tipo B.

Dado: φ(1,645) = 0,95 e φ(1,96) = 0,975, sendo φ a função de distribuição acumulada normal padrão.

A covariância entre as variáveis X e Y é igual ou inferior a 0,95.

Na produção de tubos de PVC o desvio padrão amostral do comprimento de 36 tubos é igual a 1,2 metros com média de 4,2 metros. Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta o limite superior de controle para esses dados.

Considere que as pessoas têm peso médio de 70 kg com desvio padrão de 20 kg. Considere, ainda, que 100 pessoas escolhidas ao acaso vão viajar num avião. Se P(z > a) é a probabilidade de que o peso dessas pessoas seja maior do que 7 500 kg, e z é uma variável com distribuição normal padrão, determine o valor de a, e, a seguir, assinale a alternativa correta.

No desenvolvimento de um estudo em uma região, uma agência de turismo pretende estimar por meio de uma pesquisa a proporção de passageiros satisfeitos com um novo pacote de viagens oferecido. Para isso, admite- -se que a frequência relativa dos passageiros que são satisfeitos seja normalmente distribuída com variância máxima. Dado que na curva normal padrão (Z) a probabilidade P(l Z l ≤ 1,64) = 90%, tem-se que o tamanho da amostra necessária para essa pesquisa, com reposição, com um erro de 2% e precisão de 90%, é de

Pesquisados 100 indivíduos a respeito de terem, ou não, sofrido algum acidente de trânsito no último ano, chegou- -se a seguinte tabela de contingência:

Considerando que z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, P(z < 1,96) = 0,975 e P(z < 1,645) = 0,95, sendo P(A) a probabilidade do evento A), é correto afirma

O prefeito de um município pretende que seja implantada uma indústria em sua cidade. Para isso, promove uma pesquisa com os respectivos habitantes, extraindo uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 396, verificando que 45% são contra a implantação, alegando que aumentará a poluição do meio ambiente. O restante dos habitantes da amostra manifestaram ser a favor da implantação. Com base nos resultados da amostra, realizou-se um teste estatístico para averiguar se a proporção (p) de habitantes que são contra a implantação é inferior a 50%, ao nível de significância de 5%. Considere que a distribuição de frequências relativas dos habitantes que são contra a implantação é normal e as hipóteses H₀ : p = 0,50 (hipótese nula) e H₁ : p < 0,50 (hipótese alternativa). Dado que na curva normal padrão (Z) a probabilidade P(Z > 1,64) = 0,05, tem-se que o valor da estatística z_calc (z calculado) utilizado para comparar com o valor de z tabelado é igual a

Em uma grande empresa, foi realizada uma pesquisa com 81 funcionários escolhidos aleatoriamente e detectou-se que 46 possuíam curso superior. Por uma decisão interna da empresa atribuiu-se 46 sinais positivos para os funcionários com nível superior e 35 sinais negativos para os funcionários sem nível superior. Aplicou-se o teste do sinal para averiguar se a proporção de sinais positivos (p) é igual a 50%, a um nível de significância α.

Considere que:

I. foram formuladas as hipóteses H₀ : p = 0,50 (hipótese nula) e H₁ : p ≠ 0,50 (hipótese alternativa).

II. para facilitar os cálculos optou-se pela aproximação da distribuição binomial pela normal.

III. foi desconsiderada a correção de continuidade.

IV. z é o valor crítico da distribuição normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(lZl ≤ z) = 1 – α.

O valor do escore reduzido r utilizado para comparação com o valor crítico z para a tomada de decisão é igual a