Questões de Concurso sobre Estimador de Mínimos Quadrados

O comportamento da variável aleatória Y é definido pelo modelo estatístico Y = M + u, onde M é um parâmetro desconhecido e u é uma variável aleatória de média zero e variância finita. Dez experimentos independentes foram conduzidos, observando-se os seguintes valores para Y: 4; 1; 1.5; 3.5; 5; 2; 1.5; 4; 2.5; 1.

A estimativa de M que minimiza a soma dos quadrados dos desvios é

Com relação ao modelo (1), a estimativa de mínimos quadrados do coeficiente a satisfaz à relação seguinte.

Pretende-se usar um modelo de regressão linear Y = α + βX + ε para ajustar n pares de valores observados (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n). Supõe-se que os erros ε tenham média 0, sejam normalmente distribuídos, todos com mesma variância, e sejam não correlacionados. Se a e b são as estimativas de mínimos quadrados de α e β, respectivamente, avalie as afirmativas a seguir:

I. As estimativas de mínimos quadrados de α e β são os valores de a e b que resolvem as equações normais $an+b{\sum }_{i=1}^n{x}_i={\sum }_{i=1}^{n}yi$ e $a{\sum }_{i=1}^n{x}_i+b{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$

II. a e b são estimadores não viesados de α e de β respectivamente.

III. O coeficiente de determinação, R² , mede a porcentagem da variância total dos valores y’s que é explicada pela regressão e, desse modo, quanto maior o valor do coeficiente de determinação, melhor é o ajuste do modelo.

Assinale:

A média amostral dos valores X₁, X₂, ..., X_n é o estimador de mínimos quadrados para a média da distribuição das perdas X.

Considere que In (e) = 1, In (6,34) = 1,8 e In (12) = 2,5. Desejando-se calcular o valor da previsão do empreendimento em 2010, em função da equação obtida, tem-se que esta previsão é igual a

O gráfico abaixo demonstra a evolução da receita tributária anual no estado de São Paulo desde 1999, com os valores arrecadados em bilhões de reais.

A previsão da receita tributária para 2009, em bilhões de reais, em função da equação obtida pelo método dos mínimos quadrados é igual a

A estimativa de mínimos quadrados para a média da distribuição Y é superior a 0,25.

O erro padrão do estimador de mínimos quadrados de $\beta$ é inferior a 0,01.

Sob hipótese de normalidade dos erros aleatórios, a estimativa de máxima verossimilhança do intercepto $a$ é menor ou igual a 720.

A estimativa de mínimos quadrados do coeficiente angular da reta de regressão é inferior a -0,5.

Considerando que o coeficiente a seja nulo, tem-se uma reta de regressão que passa pela origem, na forma Y_k = bX_k + e_k . Nesse caso, a estimativa de mínimos do coeficiente b será maior que 0,90.

Na regressão invertida $X_k=\alpha Y_k+e_k$^* , em que $e_k$^* representa um erro aleatório, é correto afirmar que a estimativa de mínimos quadrados de $\alpha$ é igual a $\frac{1}{\beta }$, em que $\hat{\beta }$ é a estimativa de mínimos quadrados de $\beta$.

a parábola dos mínimos quadrados tem os parâmetros

Se Y = f(X), em que f(X) é a função linear obtida pelo método dos mínimos quadrados, então a função Z, tal que Z = XY, atinge o valor mínimo quando X for igual a

Para ajustar uma curva a um conjunto de dados é usual utilizar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Sabe-se que:

I. O MMQ é uma técnica matemática de otimização que busca o melhor ajuste para um conjunto de dados.

II. O MMQ busca minimizar a soma dos erros quadráticos.

Considerando as assertivas acima, pode-se afirmar que:

O erro padrão da estimativa do coeficiente angular b é maior que 0,05.

Sendo $\overline{y},\overline{x}e$$\hat{\beta }$$\overline{y},\overline{x}e\beta$ respectivamente, a média dos tempos de carregamento, a média dos volumes totais do carregamento e a estimativa de mínimos quadrados do coeficiente angular do modelo, então $\overline{y}=$ $\hat{\beta }$$\overline{x}$.