Questões de Concurso sobre Estimador de Mínimos Quadrados

Os estimadores obtidos pelo método dos mínimos quadrados são aqueles que maximizam a soma dos quadrados dos erros.

O EMQ minimiza a soma do quadrado dos resíduos, independentemente da distribuição dos dados.

Considere o seguinte modelo de regressão linear simples:

$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+u_i,i=1,2,\dots ,n$.

Uma amostra aleatória com n = 24 observações de cada variável fornece as seguintes estatísticas:

$$\begin{gathered} {\sum }_{i=1}^{24}{x}_i=12 \\ {\sum }_{i=1}^{24}{y}_i=48 \\ {\sum }_{i=1}^{24}{x}_i^2=19 \\ {\sum }_{i=1}^{24}{y}_i^2=200 \\ {\sum }_{i=1}^{24}{x}_i{y}_i=50 \end{gathered}$$

A reta de regressão estimada por MQO (Mínimos Quadrados Ordinários) a partir dessa amostra é:

Considere um modelo de regressão linear múltipla dado por 𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝜀, em que 𝑌 é um vetor de dimensão 𝑛 × 1, 𝑋 tem dimensão 𝑛 × 𝑝, com as colunas linearmente independentes, 𝛽 é desconhecido com dimensão 𝑝 × 1 e o valor esperado de 𝜀 é igual a 0. A estimativa de mínimos quadrados para 𝛽 é dada por

Suponha que se deseje ajustar, pelo método dos mínimos quadrados, uma reta Y = a + bX a um conjunto de pares de observações (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (x_n, y_n).

Nesse caso, se 𝑥̅ 𝑒 𝑦̅ são as médias amostrais dos x’s e dos y’s, a solução é dada por

O Erro Quadrático Médio (EQM) de um estimador W de um parâmetro θ é a função de θ definida por:

Com a intenção de estimar um parâmetro 𝜃 desconhecido, foram propostos dois estimadores ${\hat{\theta }}_1$ e ${\hat{\theta }}_2$ que satisfazem 𝐸(${\hat{\theta }}_1$) = 𝜃 e 𝐸(${\hat{\theta }}_2$) = $\frac{(n-1)\theta }{n}$, onde n é o número de amostras.

Considere que foi proposto um novo estimador ${\hat{\theta }}_3$, o qual é definido pela seguinte equação: ${\hat{\theta }}_3$ = $\frac{3}{4}$ ${\hat{\theta }}_1$ + $\frac{1}{4}$ ${\hat{\theta }}_2$.

O estimador ${\hat{\theta }}_3$ será tendencioso para estimar 𝜃, com um viés igual a

Para uma amostra aleatória da variável $X$, cuja distribuição depende de $m$ parâmetros $\left\{{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_m\right\}$, deve-se obter estimadores, minimizando a função de verossimilhança $L({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_m).$

As estimativas dos coeficientes do modelo invertido $\hat{N}$ $=\frac{10}{3}+\frac{M}{3}$ resultam da aplicação do critério de mínimos quadrados ordinários.

Cientistas interessados em estimar os parâmetros de modelos de assimilação oceânica, utilizaram um método de estimação cujo objetivo é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e valor real.

Diante do exposto, assinale a opção que apresenta o método que se enquadra na descrição do objetivo acima.

Seja x uma variável pertencente ao conjunto de números reais. Considere a função f(x) = x⁴ + 3x³ - 2x² - 9x - 1 = 0, no intervalo −2≤x≤2. Nessa condição, calcule o mínimo absoluto dessa função e assinale a opção correta.

Considerando um modelo de regressão linear múltipla de posto completo e variância constante, pode-se obter as estimativas dos coeficientes de regressão por meio dos métodos de máxima verossimilhança (${\beta }_{MV}^{\hat{}}$) e mínimos quadrados (${\beta }_{MQ}^{\hat{}}$). A relação existente entre os estimadores obtidos por meio destes dois métodos é:

Seja {2, 3, 4, 6, 7, 8} uma amostra de uma população cuja distribuição é desconhecida. Determine o estimador de mínimos quadrados para a média dessa população e assinale a alternativa correta.

O modelo $\hat{Y}$ = 2X − 10 representa a reta de regressão linear simples da variável Y sobre a variável X ajustada pelo método de mínimos quadrados ordinários.

Considere uma regressão simples y = α + βx + ε, estimada por mínimos quadrados ordinários. Sabendo-se que cov(x,y) = 0,2, var(x) = 4 e var(y) = 16, o estimador de mínimos quadrados para β será dado por:

Um engenheiro eletricista realizou um estudo para investigar a relação entre a diferença de potencial (𝑌), medida em volts, entre dois pontos de um resistor e a corrente elétrica (𝑋), medida em ampère, que passa por ele. O estudo envolveu a coleta de cinco amostras. A partir dos dados coletados, foram obtidas as seguintes estatísticas: 𝛴𝑋_𝑘 = 15,5; 𝛴𝑌_𝑘 = 31; 𝛴𝑋_𝑘𝑌_𝑘 = 112,5; 𝛴𝑋_𝑘² = 56,25; e 𝛴𝑌_𝑘² = 225. Com o objetivo de analisar essa relação, o engenheiro utilizou um modelo de regressão linear simples na forma 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝜀, em que 𝜀 representa o erro aleatório, com média 0 e desvio-padrão 𝜎.

Com base nessa situação hipotética, assinale a alternativa que apresenta as estimativas dos mínimos quadrados ordinários para os coeficientes 𝑎, em ohm (volts por ampère), e 𝑏, em volts, do modelo de regressão linear simples.

De acordo com Gemael et al. (1994), as observações podem ser influenciadas por três tipos de erros: grosseiros, sistemáticos e acidentais. Para realizar o processo de ajustamento de observações usando o Método dos Mínimos Quadrados, quais erros devem ser eliminados?

O modelo de regressão linear, y = ax + b, foi determinado empregando o método dos mínimos quadrados. Para a construção do modelo dispõe das seguintes informações:

${\sum }_{i=1}^{20}$ $x_i=30;$ ${\sum }_{i=1}^{20}$ $y_i=40;$ ${\sum }_{i=1}^{20}$ ${\left(x_i\right)}^2=600;$ ${\sum }_{i=1}^{20}$ ${\left(y_i\right)}^2=1280;$ e ${\sum }_{i=1}^{20}$ $\left(x_i{y}_i\right)=781,5$

Nessas condições, a equação do modelo que descreve o comportamento da função em apreço é

A tabela a seguir descreve as receitas anuais, em bilhões de reais, de uma empresa no período de 2018 a 2022.

Usando o método dos mínimos quadrados e supondo linear a tendência dos dados informados, a estimativa pontual da receita (em bilhões de reais) para 2023 é de:

Se â denota a estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente angular a, então â = 7,2.