Questões de Concurso sobre Estimador de Mínimos Quadrados

A tabela a seguir descreve as receitas anuais, em bilhões de reais, de uma empresa no período de 2018 a 2022.

Usando o método dos mínimos quadrados e supondo linear a tendência dos dados informados, a estimativa pontual da receita (em bilhões de reais) para 2023 é de:

Se â denota a estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente angular a, então â = 7,2.

Se as médias amostrais das variáveis $x$ e $y$ forem iguais a zero, então o estimador de mínimos quadrados ordinários de $b$ será igual a zero.

Considere um modelo de regressão múltipla usual Y = Xb + e, baseado em n observações y, b é um vetor de k parâmetros, e é um vetor de k componentes aleatórios e X é uma matriz de observações de dimensões n por (k + 1).

Se X^T denota a transposta de X, então o estimador de mínimos quadrados de b é igual a:

Para que os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) sejam eficientes na classe de estimadores lineares não viesados, são necessárias as seguintes hipóteses, à exceção de uma. Assinale-a.

Seja o modelo 𝑌_𝑖 = 𝛼𝑋_𝑖 + 𝜀_𝑖, com 𝐸[𝜀_𝑖 ] = 0, 𝑉𝑎𝑟(𝜀_𝑖) = ${\sigma }^2$𝐾𝑋_𝑖 e 𝑐𝑜𝑣(𝜀_𝑖, 𝜀_𝑗) = 0, 𝑖 ≠ 𝑗 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛., qual o estimador de mínimos quadrados para o parâmetro α e sua respectiva variância?

Os valores da sequência $r_1,...,r_{10}$ são mutuamente independentes.

A estimativa de mínimos quadrados ordinários para o intercepto do modelo é igual a zero.

A estimativa de mínimos quadrados ordinários para o coeficiente ${\beta }_1$ é igual a 0.

Considere que as variáveis X e Y estão relacionadas. Em uma amostra de 10 pares de valores, tem-se ${\sum }_{i=1}^n$ X_i = 100, ${\sum }_{i=1}^n$ y_i = 340, ${\sum }_{i=1}^n$ X_iY_i = 10.200, ${\sum }_{i=1}^n$ x_i² = 2.250 e ${\sum }_{i=1}^n$ y_i² = 30.500. Com base nessas informações, determine a reta de mínimos quadrados que se ajusta a esses dados, considerando X como variável independente, e assinale a opção correta.

Sob a presença de heteroscedasticidade num modelo de regressão linear, o método dos mínimos quadrados ordinários não gera estimativas de parâmetros eficientes ou de variância mínima, o que implica erros padrões viesados.

Considere os dados da Tabela abaixo. Eles dizem respeito ao consumo fictício de xícaras de café por dia (Y) e o preço real do café no varejo (X), no Brasil, no período 2000-2010.

Aplicando o método dos mínimos quadrados ordinários aos dados, obtemos os seguintes resultados da regressão:

Ŷ_t = 2,6911 – 0,4795X_t

ep = (0,1216) (0,1140) SQR = 0,1491; r² = 0,6628

Indique a proposição verdadeira na qual esses resultados fazem sentido do ponto de vista econômico.

A distância $D$ de Cook representa uma medida da influência. Em particular, essa medida é dada por ${\sum }_{k=1}^{10}$ $\frac{\hat{y}k(i)-\hat{y}k}{3{\hat{\sigma }}^2}$, na qual ${\hat{y}}_{k(i)}$ denota o valor ajustado para $y_k$, omitindo-se o elemento $i$ da amostra no cálculo das estimativas dos coeficientes do modelo.

De acordo com o método dos mínimos quadrados ordinários, a estimativa do parâmetro μ é igual a 10.

Assinale a opção que apresenta a reta de mínimos quadrados ${\hat{y}}_l=a+\beta x_i$ em que y mede o tempo de reação e x a idade.

Dados:

$\Sigma x_i=630$

$\Sigma x^{2}i=39750$

$\Sigma x_i{y}_i=4205$

$\Sigma y_i=63$

$\bar{y}$ = 5,25

$\bar{x}$ = 52,5

n=12

$S{Q}_{TOTAL}={\sum }_{i=1}^6{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2=0,2$ .

Um laboratorista quer comparar as médias de dois conjuntos de medidas da mesma grandeza. Assim assinale a opção que apresenta qual teste estatístico deve ser utilizado.

Os métodos de regressão linear são utilizados para se buscar soluções por polinômios ou métodos iterativos que possibilitem estimar os valores de f(x), considerando-se um certo x de entrada. Uma das soluções é pelo Método dos Mínimos quadrados, que consiste em escolher os α de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, ou seja, de acordo com o critério dos quadrados mínimos, os coeficientes αk, que fazem com que φ(x) se aproxime ao máximo de f(x) descrito por

$\begin{array}{c}m\\ \sum \\ k=1\end{array}$ $d_k^2=$ $\begin{array}{c}m\\ \sum \\ k=1\end{array}$ ${\left(f\left(x_k\right)-\phi \left(x_k\right)\right)}^2$

Assinale a alternativa em que se tem valor mais aproximado do cálculo pelo método dos mínimos quadrados, considerando α = 2,1831, x = 0,32 e o f(x) = x². Repare que os dados dessa análise podem ser visualizados no gráfico a seguir.

Fonte: IFSP, 2022.

Para a obtenção de projeções de resultados financeiros de empresas de determinado ramo de negócios, será ajustado um modelo de regressão linear simples na forma $y=ax+b+\in$ , no qual $x$ representa o grau de endividamento; $y$ denota um índice contábil; o termo $\in$ é o erro aleatório, que segue uma distribuição com média nula e variância ${\sigma }^2$; e $a$ e $b$ são os coeficientes do modelo, com $b\ne 0$ . A correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$ é positiva e algumas medidas descritivas referentes às variáveis $x$ e $y$ se encontram na tabela a seguir.

Com base nessa situação hipotética e considerando que o coeficiente de determinação proporcionado pelo modelo em tela seja R^{2 =}0,81, assinale a opção em que é apresentada a reta ajustada pelo critério de mínimos quadrados ordinários.

$S_{xx}={\sum }_{i=1}^6{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2=4,$ em que $\overline{x}={\sum }_{i=1}^6{x}_i/6.$