Questões de Concurso sobre Estimadores de Bayes

Seja um modelo não linear dado por:

$\begin{array}{cc}{x}_k=M(x_{k-1})+q_{k-1},& q_{k-1}\sim \mathcal{N}(0,Q);\\ y_k=H(x_k)+r_k,& r_k\sim \mathcal{N}(0,R),\end{array}$

em que: 𝑥𝑘 é um vetor de estados de 𝑛 dimensões em um dado instante de tempo 𝑘; 𝑀 e 𝐻 são mapeamentos não-lineares de$R$^𝑛 para $R$^𝑛 e de $R$^𝑚 para $R$^𝑚, respectivamente; 𝑞 e 𝑟 são vetores aleatórios gaussianos de média nula e covariância 𝑄 e 𝑅, respectivamente.

Considere a implementação de um Filtro de Kalman por Conjunto (Ensemble Kalman Filter - EnKF) com 1000 pontos representando possíveis estados. Cada um dos 1000 pontos é denotado $x_t^{\left(i\right)}$, onde 𝑖 é inteiro e varia de 1 a 1000.

Considere, ainda, que a média dos pontos do conjunto no instante 𝑘 pode ser representada por $\overline{X_k}$ = ${\sum }_{i=1}^{1000}\frac{x_k^{\left(i\right)}}{1000}$, e que o ganho de Kalman no instante 𝑘 é geralmente representado pelo produto de uma matriz 𝐴 pela inversa de uma matriz 𝐵 (𝐾_𝑘=𝐴𝐵⁻¹).

Considerando as condições enunciadas acima, para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz 𝐴 pode ser calculada pela expressão:

Filtros Bayesianos são métodos usados para estimar o estado de um sistema dinâmico que seja observado por meio de medidas com incertezas. Entre os algoritmos utilizados para implementação de filtros Bayesianos, pode-se citar o Filtro de Kalman clássico, aplicável a sistemas de modelos lineares e com distribuições Gaussianas de probabilidade.

Nesse contexto, assinale a opção que indica uma das características do Filtro de Kalman clássico.

Considere o modelo não linear e o Filtro de Kalman por Conjunto (EnKF) detalhados na questão 04.

Para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz 𝐵 pode ser calculada pela expressão:

O comandante do exército solicita ao oficial, especialista em estatística, uma análise dos dados obtidos em sua missão para poder tomar decisões em relação aos próximos passos. Nessa primeira conversa, o oficial pergunta ao comandante qual é o tipo de inferência que ele deseja que seja realizada. Em relação aos dois tipos de inferência (Clássica ou Bayesiana) é correto afirmar:

Um dos grandes desafios do uso da inferência Bayesiana é a especificação da distribuição a priori dos parâmetros do(s) modelo(s), pois cada problema é único e tem um contexto real próprio e os graus de conhecimento variam de pesquisador para pesquisador. No processo de elicitação (especificação de distribuições de probabilidade para os parâmetros baseado em crenças e conhecimentos de uma ou mais pessoas), sobre o uso de priori(s) é correto afirmar que

Suponha que a comissão técnica de uma modalidade esportiva de um clube tem que decidir, com base em um teste de esforço físico, quais atletas serão inscritos ou não em um torneio esportivo. Estudos anteriores indicam que cerca de 40% dos atletas dessa modalidade mostram-se aptos (condição θ₀) a participar desses torneios, e 60% não aptos (condição θ₁). As respostas (X) em testes de esforço, realizados anteriormente com um grupo de atletas dessa modalidade, são mostradas na Tabela 1:

Tabela 1: Resposta (em proporções) dos atletas ao teste de esforço.

A decisão da comissão envolve perdas, estima-se que a perda ao inscrever no torneio um atleta não apto é de 6 unidades, e a perda de não inscrever um atleta apto é de 10 unidades. Admita, ainda, que não há perdas quando um atleta apto é inscrito no torneio, ou quando não se inscreve um atleta não apto. Assim, o cenário de decisão é composto pelo i) espaço paramétrico θ = {θ₀ , θ₁}, em que θ₀ e θ₁ correspondem a aptidão ou não do atleta, respectivamente; ii) pelas possíveis ações da comissão {a₀, a₁}, ou seja, inscrever (a₀) ou não inscrever o atleta (a₁); e iii) as perdas envolvidas. Considerando a distribuição a posteriori apresentada na Tabela 2, podemos afirmar sobre a decisão de Bayes da comissão:

Tabela 2: Distribuição a Posteriori.

Suponha que o comprimento X, em metros, das novas vigas fabricadas em uma indústria é uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo (0, θ). O fabricante deseja obter uma estimativa Bayesiana para θ e adota a seguinte densidade a priori para o parâmetro $\theta :\pi \left(\theta \right)=\frac{18}{{\theta }^3},\theta \ge 3$ . Uma amostra aleatória de 6 vigas selecionadas da linha de produção apresentou os comprimentos (em metros): 3,5; 6,0; 7,0; 6,5; 4,5 e 2,5. A estimativa Bayesiana para θ, com relação à função perda quadrática, é

Na abordagem bayesiana, com base no conhecimento que se tem sobre um parâmetro θ, pode-se definir uma família paramétrica de densidades. Nesse caso, a distribuição a priori é representada por uma forma funcional, cujos parâmetros devem ser especificados de acordo com esse conhecimento. Essa abordagem, em geral, facilita a análise e o caso mais importante é o de prioris conjugadas. A ideia é que as distribuições a priori e a posteriori pertençam à mesma classe de distribuições e, assim, a atualização do conhecimento que se tem do parâmetro θ envolve apenas uma mudança nos hiperparâmetros.

Nesse caso, assinale a alternativa em que é correto afirmar que a priori é conjugada.

Assinale a alternativa correta sobre a comparação entre estatística clássica e estatística bayesiana.

Os parâmetros estimados por métodos bayesianos são invariavelmente coincidentes com as estimativas obtidas por meio de métodos frequentistas.

A estimação de parâmetros pelo método bayesiano independe da distribuição a priori utilizada.

Com respeito à Inferência Bayesiana, analise as afirmativas a seguir.

I. O ideal quando se tem pouca informação inicial sobre um parâmetro θ é utilizar uma distribuição a priori 𝑝(𝜃) muito informativa.

II. A distribuição a priori traz de maneira resumida a informação contida nos dados amostrais.

III. A distribuição a priori sempre influencia mais na distribuição a posteriori que os dados amostrais.

Está(ão) INCORRETA(S) a(s) afirmativa(s)

Suponha que o estimador para um parâmetro de certa distribuição X seja , em que X1, X2, ..., Xn Π seja uma i= n i X 1 amostra aleatória simples retirada dessa distribuição X. Nesse caso, o estimador de Bayes com relação à perda quadrática será uma função de Π .

É correto afirmar:

Para uma amostra aleatória de tamanho 20 da distribuição de Bernoulli com parâmetro θ ∈ (0,1) encontrou- se o valor 8 para a soma dos itens amostrais. O parâmetro θ tem distribuição a priori uniforme. Assinale a opção que dá o valor do estimador bayesiano de θ .